Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnnlt Structured version   Unicode version

Theorem lplnnlt 30424
Description: Two lattice planes cannot satisfy the less than relation. (Contributed by NM, 7-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnnlt.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
lplnnlt.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
lplnnlt  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  -.  X  .<  Y )

Proof of Theorem lplnnlt
StepHypRef Expression
1 lplnnlt.s . . . . 5  |-  .<  =  ( lt `  K )
21pltirr 14422 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P )  ->  -.  X  .<  X )
323adant3 978 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  -.  X  .<  X )
4 breq2 4218 . . . 4  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  .<  X  <->  X  .<  Y ) )
54notbid 287 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  ( -.  X  .<  X  <->  -.  X  .<  Y ) )
63, 5syl5ibcom 213 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  =  Y  ->  -.  X  .<  Y ) )
7 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
87, 1pltle 14420 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  .<  Y  ->  X ( le `  K ) Y ) )
9 lplnnlt.p . . . . 5  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
107, 9lplncmp 30421 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X ( le
`  K ) Y  <-> 
X  =  Y ) )
118, 10sylibd 207 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  .<  Y  ->  X  =  Y )
)
1211necon3ad 2639 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  =/=  Y  ->  -.  X  .<  Y ) )
136, 12pm2.61dne 2683 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  -.  X  .<  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456   lecple 13538   ltcplt 14400   HLchlt 30210   LPlanesclpl 30351
This theorem is referenced by:  lvolnle3at  30441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-undef 6545  df-riota 6551  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-glb 14434  df-join 14435  df-meet 14436  df-p0 14470  df-lat 14477  df-clat 14539  df-oposet 30036  df-ol 30038  df-oml 30039  df-covers 30126  df-ats 30127  df-atl 30158  df-cvlat 30182  df-hlat 30211  df-llines 30357  df-lplanes 30358
  Copyright terms: Public domain W3C validator