Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnri3N Structured version   Unicode version

Theorem lplnri3N 30353
Description: Property of a lattice plane expressed as the join of 3 atoms. (Contributed by NM, 30-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnri1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lplnri1.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lplnri1.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
lplnri1.y  |-  Y  =  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S )
Assertion
Ref Expression
lplnri3N  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  Y  e.  P )  ->  R  =/=  S )

Proof of Theorem lplnri3N
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  Y  e.  P )  ->  K  e.  HL )
2 simp22 992 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  Y  e.  P )  ->  R  e.  A )
3 simp21 991 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  Y  e.  P )  ->  Q  e.  A )
4 simp23 993 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  Y  e.  P )  ->  S  e.  A )
5 eqid 2437 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
6 lplnri1.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
7 lplnri1.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
8 lplnri1.p . . 3  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
9 lplnri1.y . . 3  |-  Y  =  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S )
105, 6, 7, 8, 9lplnribN 30349 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  Y  e.  P )  ->  -.  R ( le `  K ) ( Q 
.\/  S ) )
115, 6, 7atnlej2 30178 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  -.  R
( le `  K
) ( Q  .\/  S ) )  ->  R  =/=  S )
121, 2, 3, 4, 10, 11syl131anc 1198 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  Y  e.  P )  ->  R  =/=  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   lecple 13537   joincjn 14402   Atomscatm 30062   HLchlt 30149   LPlanesclpl 30290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-undef 6544  df-riota 6550  df-poset 14404  df-plt 14416  df-lub 14432  df-glb 14433  df-join 14434  df-meet 14435  df-p0 14469  df-lat 14476  df-clat 14538  df-oposet 29975  df-ol 29977  df-oml 29978  df-covers 30065  df-ats 30066  df-atl 30097  df-cvlat 30121  df-hlat 30150  df-llines 30296  df-lplanes 30297
  Copyright terms: Public domain W3C validator