Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnri3N Unicode version

Theorem lplnri3N 29562
Description: Property of a lattice plane expressed as the join of 3 atoms. (Contributed by NM, 30-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnri1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lplnri1.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lplnri1.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
lplnri1.y  |-  Y  =  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S )
Assertion
Ref Expression
lplnri3N  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  Y  e.  P )  ->  R  =/=  S )

Proof of Theorem lplnri3N
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  Y  e.  P )  ->  K  e.  HL )
2 simp22 989 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  Y  e.  P )  ->  R  e.  A )
3 simp21 988 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  Y  e.  P )  ->  Q  e.  A )
4 simp23 990 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  Y  e.  P )  ->  S  e.  A )
5 eqid 2316 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
6 lplnri1.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
7 lplnri1.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
8 lplnri1.p . . 3  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
9 lplnri1.y . . 3  |-  Y  =  ( ( Q  .\/  R )  .\/  S )
105, 6, 7, 8, 9lplnribN 29558 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  Y  e.  P )  ->  -.  R ( le `  K ) ( Q 
.\/  S ) )
115, 6, 7atnlej2 29387 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  -.  R
( le `  K
) ( Q  .\/  S ) )  ->  R  =/=  S )
121, 2, 3, 4, 10, 11syl131anc 1195 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  Y  e.  P )  ->  R  =/=  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   class class class wbr 4060   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   lecple 13262   joincjn 14127   Atomscatm 29271   HLchlt 29358   LPlanesclpl 29499
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-undef 6340  df-riota 6346  df-poset 14129  df-plt 14141  df-lub 14157  df-glb 14158  df-join 14159  df-meet 14160  df-p0 14194  df-lat 14201  df-clat 14263  df-oposet 29184  df-ol 29186  df-oml 29187  df-covers 29274  df-ats 29275  df-atl 29306  df-cvlat 29330  df-hlat 29359  df-llines 29505  df-lplanes 29506
  Copyright terms: Public domain W3C validator