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Theorem lpolconN 31677
Description: Contraposition property of a polarity. (Contributed by NM, 26-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lpolcon.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lpolcon.p  |-  P  =  (LPol `  W )
lpolcon.w  |-  ( ph  ->  W  e.  X )
lpolcon.o  |-  ( ph  -> 
._|_  e.  P )
lpolcon.x  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
lpolcon.y  |-  ( ph  ->  Y  C_  V )
lpolcon.c  |-  ( ph  ->  X  C_  Y )
Assertion
Ref Expression
lpolconN  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Y ) 
C_  (  ._|_  `  X
) )

Proof of Theorem lpolconN
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lpolcon.o . . 3  |-  ( ph  -> 
._|_  e.  P )
2 lpolcon.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  X )
3 lpolcon.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
5 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
6 eqid 2283 . . . . 5  |-  (LSAtoms `  W
)  =  (LSAtoms `  W
)
7 eqid 2283 . . . . 5  |-  (LSHyp `  W )  =  (LSHyp `  W )
8 lpolcon.p . . . . 5  |-  P  =  (LPol `  W )
93, 4, 5, 6, 7, 8islpolN 31673 . . . 4  |-  ( W  e.  X  ->  (  ._|_  e.  P  <->  (  ._|_  : ~P V --> ( LSubSp `  W )  /\  (
(  ._|_  `  V )  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  -> 
(  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  (LSAtoms `  W )
( (  ._|_  `  x
)  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) ) ) )
102, 9syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  e.  P  <->  ( 
._|_  : ~P V --> ( LSubSp `  W )  /\  (
(  ._|_  `  V )  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  -> 
(  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  (LSAtoms `  W )
( (  ._|_  `  x
)  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) ) ) )
111, 10mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  : ~P V
--> ( LSubSp `  W )  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  (LSAtoms `  W )
( (  ._|_  `  x
)  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) ) )
12 simpr2 962 . . 3  |-  ( ( 
._|_  : ~P V --> ( LSubSp `  W )  /\  (
(  ._|_  `  V )  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  -> 
(  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  (LSAtoms `  W )
( (  ._|_  `  x
)  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) )  ->  A. x A. y ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  -> 
(  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) ) )
13 lpolcon.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  V )
14 lpolcon.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  V )
15 lpolcon.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  C_  Y )
1613, 14, 153jca 1132 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V  /\  X  C_  Y ) )
17 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  W )  e.  _V
183, 17eqeltri 2353 . . . . . . 7  |-  V  e. 
_V
1918elpw2 4175 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ~P V  <->  X  C_  V
)
2013, 19sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ~P V
)
2118elpw2 4175 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ~P V  <->  Y  C_  V
)
2214, 21sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ~P V
)
23 sseq1 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x  C_  V  <->  X  C_  V
) )
24 biidd 228 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
y  C_  V  <->  y  C_  V ) )
25 sseq1 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x  C_  y  <->  X  C_  y
) )
2623, 24, 253anbi123d 1252 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  <->  ( X  C_  V  /\  y  C_  V  /\  X  C_  y
) ) )
27 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (  ._|_  `  x )  =  (  ._|_  `  X ) )
2827sseq2d 3206 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
(  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )  <-> 
(  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  X ) ) )
2926, 28imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y
)  C_  (  ._|_  `  x ) )  <->  ( ( X  C_  V  /\  y  C_  V  /\  X  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  X )
) ) )
30 biidd 228 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  C_  V  <->  X  C_  V
) )
31 sseq1 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  C_  V  <->  Y  C_  V
) )
32 sseq2 3200 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  C_  y  <->  X  C_  Y
) )
3330, 31, 323anbi123d 1252 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  C_  V  /\  y  C_  V  /\  X  C_  y )  <->  ( X  C_  V  /\  Y  C_  V  /\  X  C_  Y
) ) )
34 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  (  ._|_  `  y )  =  (  ._|_  `  Y ) )
3534sseq1d 3205 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
(  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  X )  <-> 
(  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) ) )
3633, 35imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  C_  V  /\  y  C_  V  /\  X  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y
)  C_  (  ._|_  `  X ) )  <->  ( ( X  C_  V  /\  Y  C_  V  /\  X  C_  Y )  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X )
) ) )
3729, 36sylan9bb 680 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  <->  ( ( X 
C_  V  /\  Y  C_  V  /\  X  C_  Y )  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X )
) ) )
3837spc2gv 2871 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ~P V  /\  Y  e.  ~P V )  ->  ( A. x A. y ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  -> 
(  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) )  ->  ( ( X  C_  V  /\  Y  C_  V  /\  X  C_  Y )  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X )
) ) )
3920, 22, 38syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  ->  ( ( X  C_  V  /\  Y  C_  V  /\  X  C_  Y )  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X )
) ) )
4016, 39mpid 37 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) ) )
4112, 40syl5 28 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  : ~P V
--> ( LSubSp `  W )  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  (LSAtoms `  W )
( (  ._|_  `  x
)  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) )  -> 
(  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) ) )
4211, 41mpd 14 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Y ) 
C_  (  ._|_  `  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   -->wf 5251   ` cfv 5255   Basecbs 13148   0gc0g 13400   LSubSpclss 15689  LSAtomsclsa 29164  LSHypclsh 29165  LPolclpoN 31670
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-lpolN 31671
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