Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpolfN Structured version   Unicode version

Theorem lpolfN 32220
Description: Functionality of a polarity. (Contributed by NM, 26-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lpolf.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lpolf.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lpolf.p  |-  P  =  (LPol `  W )
lpolf.w  |-  ( ph  ->  W  e.  X )
lpolf.o  |-  ( ph  -> 
._|_  e.  P )
Assertion
Ref Expression
lpolfN  |-  ( ph  -> 
._|_  : ~P V --> S )

Proof of Theorem lpolfN
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lpolf.o . . 3  |-  ( ph  -> 
._|_  e.  P )
2 lpolf.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  X )
3 lpolf.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 lpolf.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
5 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
6 eqid 2435 . . . . 5  |-  (LSAtoms `  W
)  =  (LSAtoms `  W
)
7 eqid 2435 . . . . 5  |-  (LSHyp `  W )  =  (LSHyp `  W )
8 lpolf.p . . . . 5  |-  P  =  (LPol `  W )
93, 4, 5, 6, 7, 8islpolN 32218 . . . 4  |-  ( W  e.  X  ->  (  ._|_  e.  P  <->  (  ._|_  : ~P V --> S  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  (LSAtoms `  W )
( (  ._|_  `  x
)  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) ) ) )
102, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  e.  P  <->  ( 
._|_  : ~P V --> S  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  (LSAtoms `  W )
( (  ._|_  `  x
)  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) ) ) )
111, 10mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  : ~P V
--> S  /\  ( ( 
._|_  `  V )  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  -> 
(  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  (LSAtoms `  W )
( (  ._|_  `  x
)  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) ) )
1211simpld 446 1  |-  ( ph  -> 
._|_  : ~P V --> S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   {csn 3806   -->wf 5442   ` cfv 5446   Basecbs 13461   0gc0g 13715   LSubSpclss 16000  LSAtomsclsa 29709  LSHypclsh 29710  LPolclpoN 32215
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-lpolN 32216
  Copyright terms: Public domain W3C validator