Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpolfN Unicode version

Theorem lpolfN 31601
Description: Functionality of a polarity. (Contributed by NM, 26-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lpolf.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lpolf.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lpolf.p  |-  P  =  (LPol `  W )
lpolf.w  |-  ( ph  ->  W  e.  X )
lpolf.o  |-  ( ph  -> 
._|_  e.  P )
Assertion
Ref Expression
lpolfN  |-  ( ph  -> 
._|_  : ~P V --> S )

Proof of Theorem lpolfN
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lpolf.o . . 3  |-  ( ph  -> 
._|_  e.  P )
2 lpolf.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  X )
3 lpolf.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 lpolf.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
5 eqid 2388 . . . . 5  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
6 eqid 2388 . . . . 5  |-  (LSAtoms `  W
)  =  (LSAtoms `  W
)
7 eqid 2388 . . . . 5  |-  (LSHyp `  W )  =  (LSHyp `  W )
8 lpolf.p . . . . 5  |-  P  =  (LPol `  W )
93, 4, 5, 6, 7, 8islpolN 31599 . . . 4  |-  ( W  e.  X  ->  (  ._|_  e.  P  <->  (  ._|_  : ~P V --> S  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  (LSAtoms `  W )
( (  ._|_  `  x
)  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) ) ) )
102, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  e.  P  <->  ( 
._|_  : ~P V --> S  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  (LSAtoms `  W )
( (  ._|_  `  x
)  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) ) ) )
111, 10mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  : ~P V
--> S  /\  ( ( 
._|_  `  V )  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  -> 
(  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  (LSAtoms `  W )
( (  ._|_  `  x
)  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) ) )
1211simpld 446 1  |-  ( ph  -> 
._|_  : ~P V --> S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650    C_ wss 3264   ~Pcpw 3743   {csn 3758   -->wf 5391   ` cfv 5395   Basecbs 13397   0gc0g 13651   LSubSpclss 15936  LSAtomsclsa 29090  LSHypclsh 29091  LPolclpoN 31596
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-map 6957  df-lpolN 31597
  Copyright terms: Public domain W3C validator