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Theorem lpolpolsatN 31748
Description: Property of a polarity. (Contributed by NM, 26-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lpolpolsat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lpolpolsat.p  |-  P  =  (LPol `  W )
lpolpolsat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  X )
lpolpolsat.o  |-  ( ph  -> 
._|_  e.  P )
lpolpolsat.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
Assertion
Ref Expression
lpolpolsatN  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Q ) )  =  Q )

Proof of Theorem lpolpolsatN
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lpolpolsat.o . . 3  |-  ( ph  -> 
._|_  e.  P )
2 lpolpolsat.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  X )
3 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
4 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
5 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
6 lpolpolsat.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
7 eqid 2358 . . . . 5  |-  (LSHyp `  W )  =  (LSHyp `  W )
8 lpolpolsat.p . . . . 5  |-  P  =  (LPol `  W )
93, 4, 5, 6, 7, 8islpolN 31742 . . . 4  |-  ( W  e.  X  ->  (  ._|_  e.  P  <->  (  ._|_  : ~P ( Base `  W
) --> ( LSubSp `  W
)  /\  ( (  ._|_  `  ( Base `  W
) )  =  {
( 0g `  W
) }  /\  A. x A. y ( ( x  C_  ( Base `  W )  /\  y  C_  ( Base `  W
)  /\  x  C_  y
)  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) ) ) )
102, 9syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  e.  P  <->  ( 
._|_  : ~P ( Base `  W ) --> ( LSubSp `  W )  /\  (
(  ._|_  `  ( Base `  W ) )  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x  C_  ( Base `  W )  /\  y  C_  ( Base `  W
)  /\  x  C_  y
)  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) ) ) )
111, 10mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  : ~P ( Base `  W ) --> ( LSubSp `  W )  /\  ( (  ._|_  `  ( Base `  W ) )  =  { ( 0g
`  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  ( Base `  W
)  /\  y  C_  ( Base `  W )  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y
)  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  (LSHyp `  W
)  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) )
12 simpr3 963 . . 3  |-  ( ( 
._|_  : ~P ( Base `  W ) --> ( LSubSp `  W )  /\  (
(  ._|_  `  ( Base `  W ) )  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x  C_  ( Base `  W )  /\  y  C_  ( Base `  W
)  /\  x  C_  y
)  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) )  ->  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x
)  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) )
13 lpolpolsat.q . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
14 fveq2 5608 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Q  ->  (  ._|_  `  x )  =  (  ._|_  `  Q ) )
1514eleq1d 2424 . . . . . 6  |-  ( x  =  Q  ->  (
(  ._|_  `  x )  e.  (LSHyp `  W )  <->  ( 
._|_  `  Q )  e.  (LSHyp `  W )
) )
1614fveq2d 5612 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Q  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  Q
) ) )
17 id 19 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Q  ->  x  =  Q )
1816, 17eqeq12d 2372 . . . . . 6  |-  ( x  =  Q  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Q ) )  =  Q ) )
1915, 18anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  Q  ->  (
( (  ._|_  `  x
)  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x )  <->  ( (  ._|_  `  Q )  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Q
) )  =  Q ) ) )
2019rspcv 2956 . . . 4  |-  ( Q  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x
)  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x )  ->  ( (  ._|_  `  Q )  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Q ) )  =  Q ) ) )
2113, 20syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x )  ->  ( (  ._|_  `  Q )  e.  (LSHyp `  W )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Q ) )  =  Q ) ) )
22 simpr 447 . . 3  |-  ( ( (  ._|_  `  Q )  e.  (LSHyp `  W
)  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Q ) )  =  Q )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Q ) )  =  Q )
2312, 21, 22syl56 30 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  : ~P ( Base `  W ) --> ( LSubSp `  W )  /\  ( (  ._|_  `  ( Base `  W ) )  =  { ( 0g
`  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  ( Base `  W
)  /\  y  C_  ( Base `  W )  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y
)  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  (LSHyp `  W
)  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Q
) )  =  Q ) )
2411, 23mpd 14 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Q ) )  =  Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1540    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619    C_ wss 3228   ~Pcpw 3701   {csn 3716   -->wf 5333   ` cfv 5337   Basecbs 13245   0gc0g 13499   LSubSpclss 15788  LSAtomsclsa 29233  LSHypclsh 29234  LPolclpoN 31739
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-map 6862  df-lpolN 31740
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