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Theorem lpolsatN 32348
Description: The polarity of an atomic subspace is a hyperplane. (Contributed by NM, 26-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lpolsat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lpolsat.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lpolsat.p  |-  P  =  (LPol `  W )
lpolsat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  X )
lpolsat.o  |-  ( ph  -> 
._|_  e.  P )
lpolsat.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
Assertion
Ref Expression
lpolsatN  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Q )  e.  H )

Proof of Theorem lpolsatN
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lpolsat.o . . 3  |-  ( ph  -> 
._|_  e.  P )
2 lpolsat.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  X )
3 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
4 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
5 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
6 lpolsat.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
7 lpolsat.h . . . . 5  |-  H  =  (LSHyp `  W )
8 lpolsat.p . . . . 5  |-  P  =  (LPol `  W )
93, 4, 5, 6, 7, 8islpolN 32343 . . . 4  |-  ( W  e.  X  ->  (  ._|_  e.  P  <->  (  ._|_  : ~P ( Base `  W
) --> ( LSubSp `  W
)  /\  ( (  ._|_  `  ( Base `  W
) )  =  {
( 0g `  W
) }  /\  A. x A. y ( ( x  C_  ( Base `  W )  /\  y  C_  ( Base `  W
)  /\  x  C_  y
)  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) ) )
102, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  e.  P  <->  ( 
._|_  : ~P ( Base `  W ) --> ( LSubSp `  W )  /\  (
(  ._|_  `  ( Base `  W ) )  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x  C_  ( Base `  W )  /\  y  C_  ( Base `  W
)  /\  x  C_  y
)  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) ) )
111, 10mpbid 203 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  : ~P ( Base `  W ) --> ( LSubSp `  W )  /\  ( (  ._|_  `  ( Base `  W ) )  =  { ( 0g
`  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  ( Base `  W
)  /\  y  C_  ( Base `  W )  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y
)  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) ) )
12 simpr3 966 . . 3  |-  ( ( 
._|_  : ~P ( Base `  W ) --> ( LSubSp `  W )  /\  (
(  ._|_  `  ( Base `  W ) )  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x  C_  ( Base `  W )  /\  y  C_  ( Base `  W
)  /\  x  C_  y
)  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) )  ->  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) )
13 lpolsat.q . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
14 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Q  ->  (  ._|_  `  x )  =  (  ._|_  `  Q ) )
1514eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( x  =  Q  ->  (
(  ._|_  `  x )  e.  H  <->  (  ._|_  `  Q
)  e.  H ) )
1614fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Q  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  Q
) ) )
17 id 21 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Q  ->  x  =  Q )
1816, 17eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( x  =  Q  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Q ) )  =  Q ) )
1915, 18anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( x  =  Q  ->  (
( (  ._|_  `  x
)  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x )  <->  ( (  ._|_  `  Q )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Q ) )  =  Q ) ) )
2019rspcv 3050 . . . 4  |-  ( Q  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x
)  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x )  ->  (
(  ._|_  `  Q )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Q
) )  =  Q ) ) )
2113, 20syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x )  -> 
( (  ._|_  `  Q
)  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Q ) )  =  Q ) ) )
22 simpl 445 . . 3  |-  ( ( (  ._|_  `  Q )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Q
) )  =  Q )  ->  (  ._|_  `  Q )  e.  H
)
2312, 21, 22syl56 33 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  : ~P ( Base `  W ) --> ( LSubSp `  W )  /\  ( (  ._|_  `  ( Base `  W ) )  =  { ( 0g
`  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  ( Base `  W
)  /\  y  C_  ( Base `  W )  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y
)  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) )  -> 
(  ._|_  `  Q )  e.  H ) )
2411, 23mpd 15 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Q )  e.  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   {csn 3816   -->wf 5452   ` cfv 5456   Basecbs 13471   0gc0g 13725   LSubSpclss 16010  LSAtomsclsa 29834  LSHypclsh 29835  LPolclpoN 32340
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-map 7022  df-lpolN 32341
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