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Theorem lpolsatN 32300
Description: The polarity of an atomic subspace is a hyperplane. (Contributed by NM, 26-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lpolsat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lpolsat.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lpolsat.p  |-  P  =  (LPol `  W )
lpolsat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  X )
lpolsat.o  |-  ( ph  -> 
._|_  e.  P )
lpolsat.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
Assertion
Ref Expression
lpolsatN  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Q )  e.  H )

Proof of Theorem lpolsatN
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lpolsat.o . . 3  |-  ( ph  -> 
._|_  e.  P )
2 lpolsat.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  X )
3 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
4 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
5 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
6 lpolsat.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
7 lpolsat.h . . . . 5  |-  H  =  (LSHyp `  W )
8 lpolsat.p . . . . 5  |-  P  =  (LPol `  W )
93, 4, 5, 6, 7, 8islpolN 32295 . . . 4  |-  ( W  e.  X  ->  (  ._|_  e.  P  <->  (  ._|_  : ~P ( Base `  W
) --> ( LSubSp `  W
)  /\  ( (  ._|_  `  ( Base `  W
) )  =  {
( 0g `  W
) }  /\  A. x A. y ( ( x  C_  ( Base `  W )  /\  y  C_  ( Base `  W
)  /\  x  C_  y
)  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) ) )
102, 9syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  e.  P  <->  ( 
._|_  : ~P ( Base `  W ) --> ( LSubSp `  W )  /\  (
(  ._|_  `  ( Base `  W ) )  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x  C_  ( Base `  W )  /\  y  C_  ( Base `  W
)  /\  x  C_  y
)  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) ) )
111, 10mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  : ~P ( Base `  W ) --> ( LSubSp `  W )  /\  ( (  ._|_  `  ( Base `  W ) )  =  { ( 0g
`  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  ( Base `  W
)  /\  y  C_  ( Base `  W )  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y
)  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) ) )
12 simpr3 963 . . 3  |-  ( ( 
._|_  : ~P ( Base `  W ) --> ( LSubSp `  W )  /\  (
(  ._|_  `  ( Base `  W ) )  =  { ( 0g `  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x  C_  ( Base `  W )  /\  y  C_  ( Base `  W
)  /\  x  C_  y
)  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) )  ->  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) )
13 lpolsat.q . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
14 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Q  ->  (  ._|_  `  x )  =  (  ._|_  `  Q ) )
1514eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( x  =  Q  ->  (
(  ._|_  `  x )  e.  H  <->  (  ._|_  `  Q
)  e.  H ) )
1614fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Q  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  Q
) ) )
17 id 19 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Q  ->  x  =  Q )
1816, 17eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( x  =  Q  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Q ) )  =  Q ) )
1915, 18anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  Q  ->  (
( (  ._|_  `  x
)  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x )  <->  ( (  ._|_  `  Q )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Q ) )  =  Q ) ) )
2019rspcv 2893 . . . 4  |-  ( Q  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x
)  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x )  ->  (
(  ._|_  `  Q )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Q
) )  =  Q ) ) )
2113, 20syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x )  -> 
( (  ._|_  `  Q
)  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Q ) )  =  Q ) ) )
22 simpl 443 . . 3  |-  ( ( (  ._|_  `  Q )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Q
) )  =  Q )  ->  (  ._|_  `  Q )  e.  H
)
2312, 21, 22syl56 30 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  ._|_  : ~P ( Base `  W ) --> ( LSubSp `  W )  /\  ( (  ._|_  `  ( Base `  W ) )  =  { ( 0g
`  W ) }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  ( Base `  W
)  /\  y  C_  ( Base `  W )  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y
)  C_  (  ._|_  `  x ) )  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x ) ) )  -> 
(  ._|_  `  Q )  e.  H ) )
2411, 23mpd 14 1  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  Q )  e.  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   {csn 3653   -->wf 5267   ` cfv 5271   Basecbs 13164   0gc0g 13416   LSubSpclss 15705  LSAtomsclsa 29786  LSHypclsh 29787  LPolclpoN 32292
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-lpolN 32293
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