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Theorem lppotos 26144
Description: Given a line  M and a point  X not on this line. There exists a point on the other side of the line. (For my private use only. Don't use.) (Contributed by FL, 10-Aug-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lppotos.1  |-  P  =  (PPoints `  G )
lppotos.2  |-  L  =  (PLines `  G )
lppotos.3  |-  S  =  ( seg `  G
)
lppotos.4  |-  ( ph  ->  G  e. Ibg )
lppotos.5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( P 
\  M ) )
lppotos.6  |-  ( ph  ->  M  e.  L )
Assertion
Ref Expression
lppotos  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( P  \  M ) ( ( X S y )  i^i  M
)  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    y, M    y, P    y, S    y, X
Allowed substitution hints:    ph( y)    G( y)    L( y)

Proof of Theorem lppotos
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lppotos.1 . . 3  |-  P  =  (PPoints `  G )
2 lppotos.2 . . 3  |-  L  =  (PLines `  G )
3 lppotos.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. Ibg )
43isibg1a 26111 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. Ig )
5 lppotos.6 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  L )
61, 2, 4, 5elhalop2 26069 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  x  e.  M )
7 lppotos.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( P 
\  M ) )
8 eldifn 3299 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( P  \  M )  ->  -.  X  e.  M )
9 nelneq 2381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
)  ->  -.  x  =  X )
10 df-ne 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =/=  X  <->  -.  x  =  X )
11 necom 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =/=  X  <->  X  =/=  x )
12 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (btw `  G )  =  (btw
`  G )
1333ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
)  ->  G  e. Ibg )
14 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  e.  ( P  \  M )  ->  X  e.  P )
157, 14syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
16153ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
)  ->  X  e.  P )
17 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  P  ->  x  e.  P )
18173ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
)  ->  x  e.  P )
19 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
)  ->  X  =/=  x )
201, 12, 13, 16, 18, 19isibg2a3 26121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
)  ->  E. z  e.  P  x  e.  ( X (btw `  G
) z ) )
21 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( z  e.  P  /\  x  e.  ( X (btw `  G )
z )  /\  ( ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
) )  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  z  e.  P )
2233ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G
) z )  /\  x  e.  P )  ->  G  e. Ibg )
2322adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G ) z )  /\  x  e.  P
)  /\  z  e.  P )  ->  G  e. Ibg )
24153ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G
) z )  /\  x  e.  P )  ->  X  e.  P )
2524adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G ) z )  /\  x  e.  P
)  /\  z  e.  P )  ->  X  e.  P )
26 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G ) z )  /\  x  e.  P
)  /\  z  e.  P )  ->  x  e.  P )
27 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  e.  P  ->  z  e.  P )
2827adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G ) z )  /\  x  e.  P
)  /\  z  e.  P )  ->  z  e.  P )
29 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G ) z )  /\  x  e.  P
)  /\  z  e.  P )  ->  x  e.  ( X (btw `  G ) z ) )
30 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( line `  G )  =  (
line `  G )
311, 12, 23, 25, 26, 28, 29, 30isibg1a6 26125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G ) z )  /\  x  e.  P
)  /\  z  e.  P )  ->  x  e.  ( X ( line `  G ) z ) )
3243ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G
) z )  /\  x  e.  P )  ->  G  e. Ig )
3332adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G ) z )  /\  x  e.  P
)  /\  z  e.  P )  ->  G  e. Ig )
3433adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  ->  G  e. Ig )
35343ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  G  e. Ig )
3625adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  ->  X  e.  P )
37363ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  X  e.  P )
38 simp1rr 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  z  e.  P )
3923adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  ->  G  e. Ibg )
40393ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  G  e. Ibg )
41 simprl3 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  ->  x  e.  P )
42413ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  x  e.  P )
43 simprl2 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  ->  x  e.  ( X
(btw `  G )
z ) )
44433ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  x  e.  ( X (btw `  G ) z ) )
451, 12, 40, 37, 42, 38, 44isibg1spa 26123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  X  =/=  z )
461, 2, 30, 35, 37, 38, 45lineval12 26081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  ( X ( line `  G
) z )  e.  L )
4753ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G
) z )  /\  x  e.  P )  ->  M  e.  L )
4847adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G ) z )  /\  x  e.  P
)  /\  z  e.  P )  ->  M  e.  L )
4948adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  ->  M  e.  L )
50493ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  M  e.  L )
511, 30, 35, 37, 38lineval2a 26085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  X  e.  ( X ( line `  G ) z ) )
52 simp3r 984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  -.  X  e.  M )
53 nelne1 2535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( X  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  -.  X  e.  M
)  ->  ( X
( line `  G )
z )  =/=  M
)
5451, 52, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  ( X ( line `  G
) z )  =/= 
M )
55 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( x  e.  ( ( X ( line `  G
) z )  i^i 
M )  <->  ( x  e.  ( X ( line `  G ) z )  /\  x  e.  M
) )
5655simplbi2com 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( x  e.  M  ->  (
x  e.  ( X ( line `  G
) z )  ->  x  e.  ( ( X ( line `  G
) z )  i^i 
M ) ) )
5756adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
)  ->  ( x  e.  ( X ( line `  G ) z )  ->  x  e.  ( ( X ( line `  G ) z )  i^i  M ) ) )
5857com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  e.  ( X (
line `  G )
z )  ->  (
( x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
)  ->  x  e.  ( ( X (
line `  G )
z )  i^i  M
) ) )
5958adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  -> 
( ( x  e.  M  /\  -.  X  e.  M )  ->  x  e.  ( ( X (
line `  G )
z )  i^i  M
) ) )
6059imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  /\  ( x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  x  e.  ( ( X (
line `  G )
z )  i^i  M
) )
61603adant2 974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  x  e.  ( ( X (
line `  G )
z )  i^i  M
) )
622, 35, 46, 50, 54, 61isconcl7a 26105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  (
( X ( line `  G ) z )  i^i  M )  =  { x } )
63 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( X ( line `  G ) z )  i^i  M )  =  { x }  ->  ( ( X ( line `  G ) z )  i^i  M )  =  { x } )
6463adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( X (
line `  G )
z )  i^i  M
)  =  { x }  /\  ( ( x  e.  ( X (
line `  G )
z )  /\  (
( ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G ) z )  /\  x  e.  P
)  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) ) )  -> 
( ( X (
line `  G )
z )  i^i  M
)  =  { x } )
6535adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( X (
line `  G )
z )  i^i  M
)  =  { x }  /\  ( ( x  e.  ( X (
line `  G )
z )  /\  (
( ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G ) z )  /\  x  e.  P
)  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) ) )  ->  G  e. Ig )
6637adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( X (
line `  G )
z )  i^i  M
)  =  { x }  /\  ( ( x  e.  ( X (
line `  G )
z )  /\  (
( ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G ) z )  /\  x  e.  P
)  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) ) )  ->  X  e.  P )
6738adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( X (
line `  G )
z )  i^i  M
)  =  { x }  /\  ( ( x  e.  ( X (
line `  G )
z )  /\  (
( ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G ) z )  /\  x  e.  P
)  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) ) )  -> 
z  e.  P )
681, 30, 65, 66, 67lineval2b 26086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( X (
line `  G )
z )  i^i  M
)  =  { x }  /\  ( ( x  e.  ( X (
line `  G )
z )  /\  (
( ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G ) z )  /\  x  e.  P
)  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) ) )  -> 
z  e.  ( X ( line `  G
) z ) )
6940adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( X (
line `  G )
z )  i^i  M
)  =  { x }  /\  ( ( x  e.  ( X (
line `  G )
z )  /\  (
( ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G ) z )  /\  x  e.  P
)  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) ) )  ->  G  e. Ibg )
7042adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( X (
line `  G )
z )  i^i  M
)  =  { x }  /\  ( ( x  e.  ( X (
line `  G )
z )  /\  (
( ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G ) z )  /\  x  e.  P
)  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) ) )  ->  x  e.  P )
7144adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( X (
line `  G )
z )  i^i  M
)  =  { x }  /\  ( ( x  e.  ( X (
line `  G )
z )  /\  (
( ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G ) z )  /\  x  e.  P
)  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) ) )  ->  x  e.  ( X
(btw `  G )
z ) )
721, 12, 69, 66, 70, 67, 71isibg1a5a 26124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( X (
line `  G )
z )  i^i  M
)  =  { x }  /\  ( ( x  e.  ( X (
line `  G )
z )  /\  (
( ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G ) z )  /\  x  e.  P
)  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) ) )  ->  x  =/=  z )
7364, 68, 72lppotoslem 26143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( X (
line `  G )
z )  i^i  M
)  =  { x }  /\  ( ( x  e.  ( X (
line `  G )
z )  /\  (
( ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G ) z )  /\  x  e.  P
)  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) ) )  ->  -.  z  e.  M
)
7462, 73mpancom 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  /\  X  =/=  x  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  -.  z  e.  M )
75743exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  ( X ( line `  G
) z )  /\  ( ( ph  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  x  e.  P )  /\  z  e.  P ) )  -> 
( X  =/=  x  ->  ( ( x  e.  M  /\  -.  X  e.  M )  ->  -.  z  e.  M )
) )
7631, 75mpancom 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( X (btw `  G ) z )  /\  x  e.  P
)  /\  z  e.  P )  ->  ( X  =/=  x  ->  (
( x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
)  ->  -.  z  e.  M ) ) )
77763exp1 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (btw `  G
) z )  -> 
( x  e.  P  ->  ( z  e.  P  ->  ( X  =/=  x  ->  ( ( x  e.  M  /\  -.  X  e.  M )  ->  -.  z  e.  M )
) ) ) ) )
7877com25 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( X  =/=  x  ->  ( x  e.  P  ->  ( z  e.  P  ->  ( x  e.  ( X (btw `  G
) z )  -> 
( ( x  e.  M  /\  -.  X  e.  M )  ->  -.  z  e.  M )
) ) ) ) )
79783imp 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
)  ->  ( z  e.  P  ->  ( x  e.  ( X (btw
`  G ) z )  ->  ( (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
)  ->  -.  z  e.  M ) ) ) )
8079com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  P  ->  (
x  e.  ( X (btw `  G )
z )  ->  (
( ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P )  ->  (
( x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
)  ->  -.  z  e.  M ) ) ) )
81803imp1 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( z  e.  P  /\  x  e.  ( X (btw `  G )
z )  /\  ( ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
) )  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  -.  z  e.  M )
82 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( P  \  M )  <->  ( z  e.  P  /\  -.  z  e.  M ) )
8321, 81, 82sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( z  e.  P  /\  x  e.  ( X (btw `  G )
z )  /\  ( ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
) )  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  z  e.  ( P  \  M
) )
84 simpl33 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  P  /\  x  e.  ( X (btw `  G )
z )  /\  ( ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
) )  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  x  e.  P )
85 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  P  /\  x  e.  ( X (btw `  G )
z )  /\  ( ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
) )  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  x  e.  ( X (btw `  G ) z ) )
86853mix1d 24067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  P  /\  x  e.  ( X (btw `  G )
z )  /\  ( ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
) )  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  (
x  e.  ( X (btw `  G )
z )  \/  x  =  X  \/  x  =  z ) )
87 lppotos.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  S  =  ( seg `  G
)
88133ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  P  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  ( ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
) )  ->  G  e. Ibg )
8988adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  P  /\  x  e.  ( X (btw `  G )
z )  /\  ( ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
) )  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  G  e. Ibg )
90163ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  P  /\  x  e.  ( X
(btw `  G )
z )  /\  ( ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
) )  ->  X  e.  P )
9190adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  P  /\  x  e.  ( X (btw `  G )
z )  /\  ( ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
) )  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  X  e.  P )
921, 12, 89, 91, 84, 21, 85isibg1spa 26123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( z  e.  P  /\  x  e.  ( X (btw `  G )
z )  /\  ( ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
) )  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  X  =/=  z )
931, 87, 89, 91, 12, 21, 92sgplpte21e 26137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  P  /\  x  e.  ( X (btw `  G )
z )  /\  ( ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
) )  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  (
x  e.  ( X S z )  <->  ( x  e.  P  /\  (
x  e.  ( X (btw `  G )
z )  \/  x  =  X  \/  x  =  z ) ) ) )
9484, 86, 93mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  P  /\  x  e.  ( X (btw `  G )
z )  /\  ( ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
) )  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  x  e.  ( X S z ) )
95 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( z  e.  P  /\  x  e.  ( X (btw `  G )
z )  /\  ( ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
) )  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  x  e.  M )
96 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( ( X S z )  i^i 
M )  <->  ( x  e.  ( X S z )  /\  x  e.  M ) )
9794, 95, 96sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( z  e.  P  /\  x  e.  ( X (btw `  G )
z )  /\  ( ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
) )  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  x  e.  ( ( X S z )  i^i  M
) )
98 19.8a 1718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ( X S z )  i^i 
M )  ->  E. x  x  e.  ( ( X S z )  i^i 
M ) )
9997, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( z  e.  P  /\  x  e.  ( X (btw `  G )
z )  /\  ( ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
) )  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  E. x  x  e.  ( ( X S z )  i^i 
M ) )
100 n0 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( X S z )  i^i  M )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( ( X S z )  i^i  M
) )
10199, 100sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( z  e.  P  /\  x  e.  ( X (btw `  G )
z )  /\  ( ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
) )  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  (
( X S z )  i^i  M )  =/=  (/) )
102 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  z  ->  ( X S y )  =  ( X S z ) )
103102ineq1d 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  (
( X S y )  i^i  M )  =  ( ( X S z )  i^i 
M ) )
104103neeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( X S y )  i^i  M
)  =/=  (/)  <->  ( ( X S z )  i^i 
M )  =/=  (/) ) )
105104rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  ( P 
\  M )  /\  ( ( X S z )  i^i  M
)  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  ( P  \  M ) ( ( X S y )  i^i  M )  =/=  (/) )
10683, 101, 105syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( z  e.  P  /\  x  e.  ( X (btw `  G )
z )  /\  ( ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
) )  /\  (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
) )  ->  E. y  e.  ( P  \  M
) ( ( X S y )  i^i 
M )  =/=  (/) )
1071063exp1 1167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  P  ->  (
x  e.  ( X (btw `  G )
z )  ->  (
( ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P )  ->  (
( x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
)  ->  E. y  e.  ( P  \  M
) ( ( X S y )  i^i 
M )  =/=  (/) ) ) ) )
108107rexlimiv 2661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. z  e.  P  x  e.  ( X (btw
`  G ) z )  ->  ( ( ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
)  ->  ( (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
)  ->  E. y  e.  ( P  \  M
) ( ( X S y )  i^i 
M )  =/=  (/) ) ) )
10920, 108mpcom 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  x  /\  x  e.  P
)  ->  ( (
x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
)  ->  E. y  e.  ( P  \  M
) ( ( X S y )  i^i 
M )  =/=  (/) ) )
1101093exp 1150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  =/=  x  ->  ( x  e.  P  ->  ( ( x  e.  M  /\  -.  X  e.  M )  ->  E. y  e.  ( P  \  M
) ( ( X S y )  i^i 
M )  =/=  (/) ) ) ) )
111110com34 77 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  =/=  x  ->  ( ( x  e.  M  /\  -.  X  e.  M )  ->  (
x  e.  P  ->  E. y  e.  ( P  \  M ) ( ( X S y )  i^i  M )  =/=  (/) ) ) ) )
112111com4l 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =/=  x  ->  (
( x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
)  ->  ( x  e.  P  ->  ( ph  ->  E. y  e.  ( P  \  M ) ( ( X S y )  i^i  M
)  =/=  (/) ) ) ) )
11311, 112sylbi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =/=  X  ->  (
( x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
)  ->  ( x  e.  P  ->  ( ph  ->  E. y  e.  ( P  \  M ) ( ( X S y )  i^i  M
)  =/=  (/) ) ) ) )
11410, 113sylbir 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  =  X  -> 
( ( x  e.  M  /\  -.  X  e.  M )  ->  (
x  e.  P  -> 
( ph  ->  E. y  e.  ( P  \  M
) ( ( X S y )  i^i 
M )  =/=  (/) ) ) ) )
1159, 114mpcom 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  M  /\  -.  X  e.  M
)  ->  ( x  e.  P  ->  ( ph  ->  E. y  e.  ( P  \  M ) ( ( X S y )  i^i  M
)  =/=  (/) ) ) )
116115ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  M  ->  ( -.  X  e.  M  ->  ( x  e.  P  ->  ( ph  ->  E. y  e.  ( P  \  M
) ( ( X S y )  i^i 
M )  =/=  (/) ) ) ) )
117116com24 81 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  M  ->  ( ph  ->  ( x  e.  P  ->  ( -.  X  e.  M  ->  E. y  e.  ( P 
\  M ) ( ( X S y )  i^i  M )  =/=  (/) ) ) ) )
118117com14 82 . . . . . 6  |-  ( -.  X  e.  M  -> 
( ph  ->  ( x  e.  P  ->  (
x  e.  M  ->  E. y  e.  ( P  \  M ) ( ( X S y )  i^i  M )  =/=  (/) ) ) ) )
1198, 118syl 15 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( P  \  M )  ->  ( ph  ->  ( x  e.  P  ->  ( x  e.  M  ->  E. y  e.  ( P  \  M
) ( ( X S y )  i^i 
M )  =/=  (/) ) ) ) )
1207, 119mpcom 32 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  P  ->  ( x  e.  M  ->  E. y  e.  ( P  \  M ) ( ( X S y )  i^i  M
)  =/=  (/) ) ) )
121120com3l 75 . . 3  |-  ( x  e.  P  ->  (
x  e.  M  -> 
( ph  ->  E. y  e.  ( P  \  M
) ( ( X S y )  i^i 
M )  =/=  (/) ) ) )
122121rexlimiv 2661 . 2  |-  ( E. x  e.  P  x  e.  M  ->  ( ph  ->  E. y  e.  ( P  \  M ) ( ( X S y )  i^i  M
)  =/=  (/) ) )
1236, 122mpcom 32 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  ( P  \  M ) ( ( X S y )  i^i  M
)  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544    \ cdif 3149    i^i cin 3151   (/)c0 3455   {csn 3640   ` cfv 5255  (class class class)co 5858  PPointscpoints 26056  PLinescplines 26058  Igcig 26060   linecline 26076  btwcbtw 26106  Ibgcibg 26107   segcseg 26130
This theorem is referenced by:  pdiveql  26168
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-ig2 26061  df-li 26077  df-col 26091  df-ibg2 26109  df-seg2 26131
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