Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpssat Structured version   Unicode version

Theorem lpssat 29811
Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of an atom less than or equal to one but not the other. (chpssati 23866 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lpssat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lpssat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lpssat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lpssat.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lpssat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lpssat.l  |-  ( ph  ->  T  C.  U )
Assertion
Ref Expression
lpssat  |-  ( ph  ->  E. q  e.  A  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T
) )
Distinct variable groups:    A, q    S, q    T, q    U, q    W, q
Allowed substitution hint:    ph( q)

Proof of Theorem lpssat
StepHypRef Expression
1 lpssat.l . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C.  U )
2 dfpss3 3433 . . . . 5  |-  ( T 
C.  U  <->  ( T  C_  U  /\  -.  U  C_  T ) )
32simprbi 451 . . . 4  |-  ( T 
C.  U  ->  -.  U  C_  T )
41, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  U  C_  T
)
5 iman 414 . . . . 5  |-  ( ( q  C_  U  ->  q 
C_  T )  <->  -.  (
q  C_  U  /\  -.  q  C_  T ) )
65ralbii 2729 . . . 4  |-  ( A. q  e.  A  (
q  C_  U  ->  q 
C_  T )  <->  A. q  e.  A  -.  (
q  C_  U  /\  -.  q  C_  T ) )
7 ss2rab 3419 . . . . 5  |-  ( { q  e.  A  | 
q  C_  U }  C_ 
{ q  e.  A  |  q  C_  T }  <->  A. q  e.  A  ( q  C_  U  ->  q 
C_  T ) )
8 lpssat.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
98adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  W  e.  LMod )
10 lpssat.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
11 lpssat.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
1210, 11lsatlss 29794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  C_  S )
138, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
14 rabss2 3426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  S  ->  { q  e.  A  |  q 
C_  T }  C_  { q  e.  S  | 
q  C_  T }
)
15 uniss 4036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { q  e.  A  | 
q  C_  T }  C_ 
{ q  e.  S  |  q  C_  T }  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  U. {
q  e.  S  | 
q  C_  T }
)
1613, 14, 153syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  U. {
q  e.  S  | 
q  C_  T }
)
17 lpssat.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
18 unimax 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  S  ->  U. {
q  e.  S  | 
q  C_  T }  =  T )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. { q  e.  S  |  q  C_  T }  =  T
)
20 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2120, 10lssss 16013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  S  ->  T  C_  ( Base `  W
) )
2217, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  W ) )
2319, 22eqsstrd 3382 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. { q  e.  S  |  q  C_  T }  C_  ( Base `  W ) )
2416, 23sstrd 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  ( Base `  W ) )
2524adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  ( Base `  W ) )
26 uniss 4036 . . . . . . . . 9  |-  ( { q  e.  A  | 
q  C_  U }  C_ 
{ q  e.  A  |  q  C_  T }  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  U. {
q  e.  A  | 
q  C_  T }
)
2726adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  U. {
q  e.  A  | 
q  C_  T }
)
28 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
2920, 28lspss 16060 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  ( Base `  W
)  /\  U. { q  e.  A  |  q 
C_  U }  C_  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
)  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
) )
309, 25, 27, 29syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
) )
31 lpssat.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
3210, 28, 11lssats 29810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }
) )
338, 31, 32syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  =  ( (
LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }
) )
3433adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  U  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U } ) )
3510, 28, 11lssats 29810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S )  ->  T  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
) )
368, 17, 35syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  =  ( (
LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
) )
3736adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  T  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T } ) )
3830, 34, 373sstr4d 3391 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  U  C_  T
)
3938ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T }  ->  U 
C_  T ) )
407, 39syl5bir 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. q  e.  A  ( q  C_  U  ->  q  C_  T
)  ->  U  C_  T
) )
416, 40syl5bir 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. q  e.  A  -.  ( q 
C_  U  /\  -.  q  C_  T )  ->  U  C_  T ) )
424, 41mtod 170 . 2  |-  ( ph  ->  -.  A. q  e.  A  -.  ( q 
C_  U  /\  -.  q  C_  T ) )
43 dfrex2 2718 . 2  |-  ( E. q  e.  A  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T )  <->  -.  A. q  e.  A  -.  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T
) )
4442, 43sylibr 204 1  |-  ( ph  ->  E. q  e.  A  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    C_ wss 3320    C. wpss 3321   U.cuni 4015   ` cfv 5454   Basecbs 13469   LModclmod 15950   LSubSpclss 16008   LSpanclspn 16047  LSAtomsclsa 29772
This theorem is referenced by:  lrelat  29812  dihglblem6  32138  dochexmidlem8  32265
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lsatoms 29774
  Copyright terms: Public domain W3C validator