Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpssat Unicode version

Theorem lpssat 29203
Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of an atom less than or equal to one but not the other. (chpssati 22943 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lpssat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lpssat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lpssat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lpssat.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lpssat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lpssat.l  |-  ( ph  ->  T  C.  U )
Assertion
Ref Expression
lpssat  |-  ( ph  ->  E. q  e.  A  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T
) )
Distinct variable groups:    A, q    S, q    T, q    U, q    W, q
Allowed substitution hint:    ph( q)

Proof of Theorem lpssat
StepHypRef Expression
1 lpssat.l . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C.  U )
2 dfpss3 3262 . . . . 5  |-  ( T 
C.  U  <->  ( T  C_  U  /\  -.  U  C_  T ) )
32simprbi 450 . . . 4  |-  ( T 
C.  U  ->  -.  U  C_  T )
41, 3syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  U  C_  T
)
5 iman 413 . . . . 5  |-  ( ( q  C_  U  ->  q 
C_  T )  <->  -.  (
q  C_  U  /\  -.  q  C_  T ) )
65ralbii 2567 . . . 4  |-  ( A. q  e.  A  (
q  C_  U  ->  q 
C_  T )  <->  A. q  e.  A  -.  (
q  C_  U  /\  -.  q  C_  T ) )
7 ss2rab 3249 . . . . 5  |-  ( { q  e.  A  | 
q  C_  U }  C_ 
{ q  e.  A  |  q  C_  T }  <->  A. q  e.  A  ( q  C_  U  ->  q 
C_  T ) )
8 lpssat.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
98adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  W  e.  LMod )
10 lpssat.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
11 lpssat.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
1210, 11lsatlss 29186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  C_  S )
138, 12syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
14 rabss2 3256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  S  ->  { q  e.  A  |  q 
C_  T }  C_  { q  e.  S  | 
q  C_  T }
)
15 uniss 3848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { q  e.  A  | 
q  C_  T }  C_ 
{ q  e.  S  |  q  C_  T }  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  U. {
q  e.  S  | 
q  C_  T }
)
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  U. {
q  e.  S  | 
q  C_  T }
)
17 lpssat.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
18 unimax 3861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  S  ->  U. {
q  e.  S  | 
q  C_  T }  =  T )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. { q  e.  S  |  q  C_  T }  =  T
)
20 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2120, 10lssss 15694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  S  ->  T  C_  ( Base `  W
) )
2217, 21syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Base `  W ) )
2319, 22eqsstrd 3212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. { q  e.  S  |  q  C_  T }  C_  ( Base `  W ) )
2416, 23sstrd 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  ( Base `  W ) )
2524adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  ( Base `  W ) )
26 uniss 3848 . . . . . . . . 9  |-  ( { q  e.  A  | 
q  C_  U }  C_ 
{ q  e.  A  |  q  C_  T }  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  U. {
q  e.  A  | 
q  C_  T }
)
2726adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  U. {
q  e.  A  | 
q  C_  T }
)
28 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
2920, 28lspss 15741 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }  C_  ( Base `  W
)  /\  U. { q  e.  A  |  q 
C_  U }  C_  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
)  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
) )
309, 25, 27, 29syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }
)  C_  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
) )
31 lpssat.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
3210, 28, 11lssats 29202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }
) )
338, 31, 32syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  =  ( (
LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U }
) )
3433adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  U  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  U } ) )
3510, 28, 11lssats 29202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S )  ->  T  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
) )
368, 17, 35syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  =  ( (
LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T }
) )
3736adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  T  =  ( ( LSpan `  W ) `  U. { q  e.  A  |  q  C_  T } ) )
3830, 34, 373sstr4d 3221 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T } )  ->  U  C_  T
)
3938ex 423 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { q  e.  A  |  q  C_  U }  C_  { q  e.  A  |  q 
C_  T }  ->  U 
C_  T ) )
407, 39syl5bir 209 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. q  e.  A  ( q  C_  U  ->  q  C_  T
)  ->  U  C_  T
) )
416, 40syl5bir 209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. q  e.  A  -.  ( q 
C_  U  /\  -.  q  C_  T )  ->  U  C_  T ) )
424, 41mtod 168 . 2  |-  ( ph  ->  -.  A. q  e.  A  -.  ( q 
C_  U  /\  -.  q  C_  T ) )
43 dfrex2 2556 . 2  |-  ( E. q  e.  A  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T )  <->  -.  A. q  e.  A  -.  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T
) )
4442, 43sylibr 203 1  |-  ( ph  ->  E. q  e.  A  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152    C. wpss 3153   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Basecbs 13148   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728  LSAtomsclsa 29164
This theorem is referenced by:  lrelat  29204  dihglblem6  31530  dochexmidlem8  31657
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lsatoms 29166
  Copyright terms: Public domain W3C validator