Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lrelat Unicode version

Theorem lrelat 29204
Description: Subspaces are relatively atomic. Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (chrelati 22944 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lrelat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lrelat.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lrelat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lrelat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lrelat.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lrelat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lrelat.l  |-  ( ph  ->  T  C.  U )
Assertion
Ref Expression
lrelat  |-  ( ph  ->  E. q  e.  A  ( T  C.  ( T 
.(+)  q )  /\  ( T  .(+)  q ) 
C_  U ) )
Distinct variable groups:    A, q    S, q    T, q    U, q    W, q    ph, q
Allowed substitution hint:    .(+) ( q)

Proof of Theorem lrelat
StepHypRef Expression
1 lrelat.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
2 lrelat.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
3 lrelat.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lrelat.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
5 lrelat.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
6 lrelat.l . . 3  |-  ( ph  ->  T  C.  U )
71, 2, 3, 4, 5, 6lpssat 29203 . 2  |-  ( ph  ->  E. q  e.  A  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T
) )
8 ancom 437 . . . 4  |-  ( ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T )  <-> 
( -.  q  C_  T  /\  q  C_  U
) )
9 lrelat.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
103adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  W  e.  LMod )
111lsssssubg 15715 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
1210, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  S  C_  (SubGrp `  W )
)
134adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  T  e.  S )
1412, 13sseldd 3181 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  T  e.  (SubGrp `  W )
)
15 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  A )
161, 2, 10, 15lsatlssel 29187 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  S )
1712, 16sseldd 3181 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  (SubGrp `  W )
)
189, 14, 17lssnle 14983 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( -.  q  C_  T  <->  T  C.  ( T  .(+)  q ) ) )
196pssssd 3273 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  C_  U )
2019adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  T  C_  U )
2120biantrurd 494 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  C_  U  <->  ( T  C_  U  /\  q  C_  U ) ) )
225adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  U  e.  S )
2312, 22sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)
249lsmlub 14974 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  q  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( ( T  C_  U  /\  q  C_  U
)  <->  ( T  .(+)  q )  C_  U )
)
2514, 17, 23, 24syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( T  C_  U  /\  q  C_  U )  <-> 
( T  .(+)  q ) 
C_  U ) )
2621, 25bitrd 244 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  C_  U  <->  ( T  .(+) 
q )  C_  U
) )
2718, 26anbi12d 691 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( -.  q  C_  T  /\  q  C_  U
)  <->  ( T  C.  ( T  .(+)  q )  /\  ( T  .(+)  q )  C_  U )
) )
288, 27syl5bb 248 . . 3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T
)  <->  ( T  C.  ( T  .(+)  q )  /\  ( T  .(+)  q )  C_  U )
) )
2928rexbidva 2560 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. q  e.  A  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T )  <->  E. q  e.  A  ( T  C.  ( T  .(+)  q )  /\  ( T  .(+)  q )  C_  U )
) )
307, 29mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  E. q  e.  A  ( T  C.  ( T 
.(+)  q )  /\  ( T  .(+)  q ) 
C_  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    C_ wss 3152    C. wpss 3153   ` cfv 5255  (class class class)co 5858  SubGrpcsubg 14615   LSSumclsm 14945   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689  LSAtomsclsa 29164
This theorem is referenced by:  lcvat  29220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-lsm 14947  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lsatoms 29166
  Copyright terms: Public domain W3C validator