Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcmp Structured version   Unicode version

Theorem lsatcmp 29863
 Description: If two atoms are comparable, they are equal. (atsseq 23852 analog.) TODO: can lspsncmp 16190 shorten this? (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcmp.a LSAtoms
lsatcmp.w
lsatcmp.t
lsatcmp.u
Assertion
Ref Expression
lsatcmp

Proof of Theorem lsatcmp
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatcmp.u . . 3
2 lsatcmp.w . . . . 5
3 lveclmod 16180 . . . . 5
42, 3syl 16 . . . 4
5 eqid 2438 . . . . 5
6 eqid 2438 . . . . 5
7 eqid 2438 . . . . 5
8 lsatcmp.a . . . . 5 LSAtoms
95, 6, 7, 8islsat 29851 . . . 4
104, 9syl 16 . . 3
111, 10mpbid 203 . 2
12 eldifsn 3929 . . . . 5
13 lsatcmp.t . . . . . . . . . . 11
147, 8, 4, 13lsatn0 29859 . . . . . . . . . 10
1514ad2antrr 708 . . . . . . . . 9
162ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12
17 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14
1817, 8, 4, 13lsatlssel 29857 . . . . . . . . . . . . 13
1918ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12
20 simplrl 738 . . . . . . . . . . . 12
21 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12
225, 7, 17, 6lspsnat 16219 . . . . . . . . . . . 12
2316, 19, 20, 21, 22syl31anc 1188 . . . . . . . . . . 11
2423ord 368 . . . . . . . . . 10
2524necon1ad 2673 . . . . . . . . 9
2615, 25mpd 15 . . . . . . . 8
2726ex 425 . . . . . . 7
28 eqimss 3402 . . . . . . 7
2927, 28impbid1 196 . . . . . 6
3029ex 425 . . . . 5
3112, 30syl5bi 210 . . . 4
32 sseq2 3372 . . . . . 6
33 eqeq2 2447 . . . . . 6
3432, 33bibi12d 314 . . . . 5
3534biimprcd 218 . . . 4
3631, 35syl6 32 . . 3
3736rexlimdv 2831 . 2
3811, 37mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wrex 2708   cdif 3319   wss 3322  csn 3816  cfv 5456  cbs 13471  c0g 13725  clmod 15952  clss 16010  clspn 16049  clvec 16176  LSAtomsclsa 29834 This theorem is referenced by:  lsatcmp2  29864  lsatel  29865  lsatnem0  29905  dvh2dimatN  32300 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lvec 16177  df-lsatoms 29836
 Copyright terms: Public domain W3C validator