Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv0eq Unicode version

Theorem lsatcv0eq 29859
Description: If the sum of two atoms cover the zero subspace, they are equal. (atcv0eq 22975 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv0eq.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatcv0eq.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsatcv0eq.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatcv0eq.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lsatcv0eq.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatcv0eq.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
lsatcv0eq.r  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
Assertion
Ref Expression
lsatcv0eq  |-  ( ph  ->  ( {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )  <->  Q  =  R
) )

Proof of Theorem lsatcv0eq
StepHypRef Expression
1 lsatcv0eq.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
2 lsatcv0eq.a . . . . . 6  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
3 lsatcv0eq.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lsatcv0eq.q . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
5 lsatcv0eq.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
61, 2, 3, 4, 5lsatnem0 29857 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  =/=  R  <->  ( Q  i^i  R )  =  {  .0.  }
) )
7 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
8 lsatcv0eq.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
9 lsatcv0eq.c . . . . . 6  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
10 lveclmod 15875 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
113, 10syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
127, 2, 11, 4lsatlssel 29809 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( LSubSp `  W ) )
137, 8, 1, 2, 9, 3, 12, 5lcvp 29852 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q  i^i  R )  =  {  .0.  }  <-> 
Q C ( Q 
.(+)  R ) ) )
141, 2, 9, 3, 4lsatcv0 29843 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  {  .0.  } C Q )
1514biantrurd 494 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q C ( Q  .(+)  R )  <->  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R )
) ) )
166, 13, 153bitrd 270 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  =/=  R  <->  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R )
) ) )
173adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  W  e.  LVec )
181, 7lsssn0 15721 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  {  .0.  }  e.  ( LSubSp `  W
) )
1911, 18syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  e.  ( LSubSp `  W )
)
2019adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  {  .0.  }  e.  (
LSubSp `  W ) )
2112adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  Q  e.  ( LSubSp `  W ) )
227, 2, 11, 5lsatlssel 29809 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  ( LSubSp `  W ) )
237, 8lsmcl 15852 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Q  e.  ( LSubSp `  W )  /\  R  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  ( Q  .(+)  R )  e.  ( LSubSp `  W ) )
2411, 12, 22, 23syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  .(+)  R )  e.  ( LSubSp `  W
) )
2524adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  -> 
( Q  .(+)  R )  e.  ( LSubSp `  W
) )
26 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  {  .0.  } C Q )
27 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  Q C ( Q  .(+)  R ) )
287, 9, 17, 20, 21, 25, 26, 27lcvntr 29838 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  -.  {  .0.  } C
( Q  .(+)  R ) )
2928ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) )  ->  -.  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )
) )
3016, 29sylbid 206 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  =/=  R  ->  -.  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R ) ) )
3130necon4ad 2520 . 2  |-  ( ph  ->  ( {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )  ->  Q  =  R ) )
327lsssssubg 15731 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
3311, 32syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
3433, 12sseldd 3194 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  (SubGrp `  W ) )
358lsmidm 14989 . . . . 5  |-  ( Q  e.  (SubGrp `  W
)  ->  ( Q  .(+) 
Q )  =  Q )
3634, 35syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  .(+)  Q )  =  Q )
3714, 36breqtrrd 4065 . . 3  |-  ( ph  ->  {  .0.  } C
( Q  .(+)  Q ) )
38 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( Q  =  R  ->  ( Q  .(+)  Q )  =  ( Q  .(+)  R ) )
3938breq2d 4051 . . 3  |-  ( Q  =  R  ->  ( {  .0.  } C ( Q  .(+)  Q )  <->  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )
) )
4037, 39syl5ibcom 211 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q  =  R  ->  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R ) ) )
4131, 40impbid 183 1  |-  ( ph  ->  ( {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )  <->  Q  =  R
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0gc0g 13416  SubGrpcsubg 14631   LSSumclsm 14961   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   LVecclvec 15871  LSAtomsclsa 29786    <oLL clcv 29830
This theorem is referenced by:  lsatcv1  29860
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872  df-lsatoms 29788  df-lcv 29831
  Copyright terms: Public domain W3C validator