Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv0eq Structured version   Unicode version

Theorem lsatcv0eq 29907
Description: If the sum of two atoms cover the zero subspace, they are equal. (atcv0eq 23884 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv0eq.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatcv0eq.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsatcv0eq.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatcv0eq.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lsatcv0eq.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatcv0eq.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
lsatcv0eq.r  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
Assertion
Ref Expression
lsatcv0eq  |-  ( ph  ->  ( {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )  <->  Q  =  R
) )

Proof of Theorem lsatcv0eq
StepHypRef Expression
1 lsatcv0eq.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
2 lsatcv0eq.a . . . . . 6  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
3 lsatcv0eq.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lsatcv0eq.q . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
5 lsatcv0eq.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
61, 2, 3, 4, 5lsatnem0 29905 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  =/=  R  <->  ( Q  i^i  R )  =  {  .0.  }
) )
7 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
8 lsatcv0eq.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
9 lsatcv0eq.c . . . . . 6  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
10 lveclmod 16180 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
113, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
127, 2, 11, 4lsatlssel 29857 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( LSubSp `  W ) )
137, 8, 1, 2, 9, 3, 12, 5lcvp 29900 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q  i^i  R )  =  {  .0.  }  <-> 
Q C ( Q 
.(+)  R ) ) )
141, 2, 9, 3, 4lsatcv0 29891 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  {  .0.  } C Q )
1514biantrurd 496 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q C ( Q  .(+)  R )  <->  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R )
) ) )
166, 13, 153bitrd 272 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  =/=  R  <->  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R )
) ) )
173adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  W  e.  LVec )
181, 7lsssn0 16026 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  {  .0.  }  e.  ( LSubSp `  W
) )
1911, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  e.  ( LSubSp `  W )
)
2019adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  {  .0.  }  e.  (
LSubSp `  W ) )
2112adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  Q  e.  ( LSubSp `  W ) )
227, 2, 11, 5lsatlssel 29857 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  ( LSubSp `  W ) )
237, 8lsmcl 16157 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Q  e.  ( LSubSp `  W )  /\  R  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  ( Q  .(+)  R )  e.  ( LSubSp `  W ) )
2411, 12, 22, 23syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  .(+)  R )  e.  ( LSubSp `  W
) )
2524adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  -> 
( Q  .(+)  R )  e.  ( LSubSp `  W
) )
26 simprl 734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  {  .0.  } C Q )
27 simprr 735 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  Q C ( Q  .(+)  R ) )
287, 9, 17, 20, 21, 25, 26, 27lcvntr 29886 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) ) )  ->  -.  {  .0.  } C
( Q  .(+)  R ) )
2928ex 425 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( {  .0.  } C Q  /\  Q C ( Q  .(+)  R ) )  ->  -.  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )
) )
3016, 29sylbid 208 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  =/=  R  ->  -.  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R ) ) )
3130necon4ad 2667 . 2  |-  ( ph  ->  ( {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )  ->  Q  =  R ) )
327lsssssubg 16036 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
3311, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
3433, 12sseldd 3351 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  (SubGrp `  W ) )
358lsmidm 15298 . . . . 5  |-  ( Q  e.  (SubGrp `  W
)  ->  ( Q  .(+) 
Q )  =  Q )
3634, 35syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  .(+)  Q )  =  Q )
3714, 36breqtrrd 4240 . . 3  |-  ( ph  ->  {  .0.  } C
( Q  .(+)  Q ) )
38 oveq2 6091 . . . 4  |-  ( Q  =  R  ->  ( Q  .(+)  Q )  =  ( Q  .(+)  R ) )
3938breq2d 4226 . . 3  |-  ( Q  =  R  ->  ( {  .0.  } C ( Q  .(+)  Q )  <->  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )
) )
4037, 39syl5ibcom 213 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q  =  R  ->  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R ) ) )
4131, 40impbid 185 1  |-  ( ph  ->  ( {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )  <->  Q  =  R
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    i^i cin 3321    C_ wss 3322   {csn 3816   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   0gc0g 13725  SubGrpcsubg 14940   LSSumclsm 15270   LModclmod 15952   LSubSpclss 16010   LVecclvec 16176  LSAtomsclsa 29834    <oLL clcv 29878
This theorem is referenced by:  lsatcv1  29908
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-oppg 15144  df-lsm 15272  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lvec 16177  df-lsatoms 29836  df-lcv 29879
  Copyright terms: Public domain W3C validator