Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv1 Unicode version

Theorem lsatcv1 29860
Description: Two atoms covering the zero subspace are equal. (atcv1 22976 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatcv1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsatcv1.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsatcv1.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatcv1.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lsatcv1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatcv1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lsatcv1.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
lsatcv1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
lsatcv1.l  |-  ( ph  ->  U C ( Q 
.(+)  R ) )
Assertion
Ref Expression
lsatcv1  |-  ( ph  ->  ( U  =  {  .0.  }  <->  Q  =  R
) )

Proof of Theorem lsatcv1
StepHypRef Expression
1 lsatcv1.l . . . 4  |-  ( ph  ->  U C ( Q 
.(+)  R ) )
2 breq1 4042 . . . 4  |-  ( U  =  {  .0.  }  ->  ( U C ( Q  .(+)  R )  <->  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )
) )
31, 2syl5ibcom 211 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  =  {  .0.  }  ->  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R ) ) )
4 lsatcv1.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
5 lsatcv1.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
6 lsatcv1.a . . . 4  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
7 lsatcv1.c . . . 4  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
8 lsatcv1.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
9 lsatcv1.q . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
10 lsatcv1.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lsatcv0eq 29859 . . 3  |-  ( ph  ->  ( {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )  <->  Q  =  R
) )
123, 11sylibd 205 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  =  {  .0.  }  ->  Q  =  R ) )
131adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  U C ( Q  .(+)  R ) )
14 lsatcv1.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
158adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  W  e.  LVec )
16 lsatcv1.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
1716adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  U  e.  S )
18 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  R  ->  ( Q  .(+)  R )  =  ( R  .(+)  R ) )
19 lveclmod 15875 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
208, 19syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2114, 6, 20, 10lsatlssel 29809 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
2214lsssubg 15730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  S )  ->  R  e.  (SubGrp `  W )
)
2320, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubGrp `  W ) )
245lsmidm 14989 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  (SubGrp `  W
)  ->  ( R  .(+) 
R )  =  R )
2523, 24syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R  .(+)  R )  =  R )
2618, 25sylan9eqr 2350 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  ( Q  .(+)  R )  =  R )
2710adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  R  e.  A )
2826, 27eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  ( Q  .(+)  R )  e.  A )
294, 14, 6, 7, 15, 17, 28lsatcveq0 29844 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  ( U C ( Q  .(+)  R )  <->  U  =  {  .0.  } ) )
3013, 29mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  U  =  {  .0.  } )
3130ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q  =  R  ->  U  =  {  .0.  } ) )
3212, 31impbid 183 1  |-  ( ph  ->  ( U  =  {  .0.  }  <->  Q  =  R
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {csn 3653   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0gc0g 13416  SubGrpcsubg 14631   LSSumclsm 14961   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   LVecclvec 15871  LSAtomsclsa 29786    <oLL clcv 29830
This theorem is referenced by:  lsatcvat2  29863
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872  df-lsatoms 29788  df-lcv 29831
  Copyright terms: Public domain W3C validator