Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv1 Structured version   Unicode version

Theorem lsatcv1 29846
Description: Two atoms covering the zero subspace are equal. (atcv1 23883 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatcv1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsatcv1.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsatcv1.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatcv1.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lsatcv1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatcv1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lsatcv1.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
lsatcv1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
lsatcv1.l  |-  ( ph  ->  U C ( Q 
.(+)  R ) )
Assertion
Ref Expression
lsatcv1  |-  ( ph  ->  ( U  =  {  .0.  }  <->  Q  =  R
) )

Proof of Theorem lsatcv1
StepHypRef Expression
1 lsatcv1.l . . . 4  |-  ( ph  ->  U C ( Q 
.(+)  R ) )
2 breq1 4215 . . . 4  |-  ( U  =  {  .0.  }  ->  ( U C ( Q  .(+)  R )  <->  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )
) )
31, 2syl5ibcom 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  =  {  .0.  }  ->  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R ) ) )
4 lsatcv1.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
5 lsatcv1.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
6 lsatcv1.a . . . 4  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
7 lsatcv1.c . . . 4  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
8 lsatcv1.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
9 lsatcv1.q . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
10 lsatcv1.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lsatcv0eq 29845 . . 3  |-  ( ph  ->  ( {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )  <->  Q  =  R
) )
123, 11sylibd 206 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  =  {  .0.  }  ->  Q  =  R ) )
131adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  U C ( Q  .(+)  R ) )
14 lsatcv1.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
158adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  W  e.  LVec )
16 lsatcv1.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
1716adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  U  e.  S )
18 oveq1 6088 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  R  ->  ( Q  .(+)  R )  =  ( R  .(+)  R ) )
19 lveclmod 16178 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
208, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2114, 6, 20, 10lsatlssel 29795 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
2214lsssubg 16033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  S )  ->  R  e.  (SubGrp `  W )
)
2320, 21, 22syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubGrp `  W ) )
245lsmidm 15296 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  (SubGrp `  W
)  ->  ( R  .(+) 
R )  =  R )
2523, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R  .(+)  R )  =  R )
2618, 25sylan9eqr 2490 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  ( Q  .(+)  R )  =  R )
2710adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  R  e.  A )
2826, 27eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  ( Q  .(+)  R )  e.  A )
294, 14, 6, 7, 15, 17, 28lsatcveq0 29830 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  ( U C ( Q  .(+)  R )  <->  U  =  {  .0.  } ) )
3013, 29mpbid 202 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  U  =  {  .0.  } )
3130ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q  =  R  ->  U  =  {  .0.  } ) )
3212, 31impbid 184 1  |-  ( ph  ->  ( U  =  {  .0.  }  <->  Q  =  R
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {csn 3814   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   0gc0g 13723  SubGrpcsubg 14938   LSSumclsm 15268   LModclmod 15950   LSubSpclss 16008   LVecclvec 16174  LSAtomsclsa 29772    <oLL clcv 29816
This theorem is referenced by:  lsatcvat2  29849
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-0g 13727  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-oppg 15142  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-drng 15837  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lvec 16175  df-lsatoms 29774  df-lcv 29817
  Copyright terms: Public domain W3C validator