Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcv1 Unicode version

Theorem lsatcv1 29238
Description: Two atoms covering the zero subspace are equal. (atcv1 22960 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcv1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatcv1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsatcv1.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsatcv1.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatcv1.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lsatcv1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatcv1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lsatcv1.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
lsatcv1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
lsatcv1.l  |-  ( ph  ->  U C ( Q 
.(+)  R ) )
Assertion
Ref Expression
lsatcv1  |-  ( ph  ->  ( U  =  {  .0.  }  <->  Q  =  R
) )

Proof of Theorem lsatcv1
StepHypRef Expression
1 lsatcv1.l . . . 4  |-  ( ph  ->  U C ( Q 
.(+)  R ) )
2 breq1 4026 . . . 4  |-  ( U  =  {  .0.  }  ->  ( U C ( Q  .(+)  R )  <->  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )
) )
31, 2syl5ibcom 211 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  =  {  .0.  }  ->  {  .0.  } C ( Q  .(+)  R ) ) )
4 lsatcv1.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
5 lsatcv1.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
6 lsatcv1.a . . . 4  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
7 lsatcv1.c . . . 4  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
8 lsatcv1.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
9 lsatcv1.q . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
10 lsatcv1.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lsatcv0eq 29237 . . 3  |-  ( ph  ->  ( {  .0.  } C ( Q  .(+)  R )  <->  Q  =  R
) )
123, 11sylibd 205 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  =  {  .0.  }  ->  Q  =  R ) )
131adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  U C ( Q  .(+)  R ) )
14 lsatcv1.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
158adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  W  e.  LVec )
16 lsatcv1.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
1716adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  U  e.  S )
18 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( Q  =  R  ->  ( Q  .(+)  R )  =  ( R  .(+)  R ) )
19 lveclmod 15859 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
208, 19syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2114, 6, 20, 10lsatlssel 29187 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
2214lsssubg 15714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  R  e.  S )  ->  R  e.  (SubGrp `  W )
)
2320, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubGrp `  W ) )
245lsmidm 14973 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  (SubGrp `  W
)  ->  ( R  .(+) 
R )  =  R )
2523, 24syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R  .(+)  R )  =  R )
2618, 25sylan9eqr 2337 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  ( Q  .(+)  R )  =  R )
2710adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  R  e.  A )
2826, 27eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  ( Q  .(+)  R )  e.  A )
294, 14, 6, 7, 15, 17, 28lsatcveq0 29222 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  ( U C ( Q  .(+)  R )  <->  U  =  {  .0.  } ) )
3013, 29mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Q  =  R )  ->  U  =  {  .0.  } )
3130ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q  =  R  ->  U  =  {  .0.  } ) )
3212, 31impbid 183 1  |-  ( ph  ->  ( U  =  {  .0.  }  <->  Q  =  R
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {csn 3640   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0gc0g 13400  SubGrpcsubg 14615   LSSumclsm 14945   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LVecclvec 15855  LSAtomsclsa 29164    <oLL clcv 29208
This theorem is referenced by:  lsatcvat2  29241
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-lsatoms 29166  df-lcv 29209
  Copyright terms: Public domain W3C validator