Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat Unicode version

Theorem lsatcvat 28613
Description: A nonzero subspace less than the sum of two atoms is an atom. (atcvati 22966 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatcvat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsatcvat.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsatcvat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatcvat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatcvat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lsatcvat.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
lsatcvat.r  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
lsatcvat.n  |-  ( ph  ->  U  =/=  {  .0.  } )
lsatcvat.l  |-  ( ph  ->  U  C.  ( Q 
.(+)  R ) )
Assertion
Ref Expression
lsatcvat  |-  ( ph  ->  U  e.  A )

Proof of Theorem lsatcvat
StepHypRef Expression
1 lsatcvat.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
2 lsatcvat.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lsatcvat.p . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
4 lsatcvat.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
5 lsatcvat.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
65adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  W  e.  LVec )
7 lsatcvat.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
87adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  U  e.  S )
9 lsatcvat.q . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
109adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  Q  e.  A )
11 lsatcvat.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
1211adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  R  e.  A )
13 lsatcvat.n . . . 4  |-  ( ph  ->  U  =/=  {  .0.  } )
1413adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  U  =/=  {  .0.  } )
15 lsatcvat.l . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C.  ( Q 
.(+)  R ) )
1615adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  U  C.  ( Q  .(+)  R ) )
17 simpr 447 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  -.  Q  C_  U )
181, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 17lsatcvatlem 28612 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  Q  C_  U )  ->  U  e.  A )
195adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  W  e.  LVec )
207adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  U  e.  S )
2111adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  R  e.  A )
229adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  Q  e.  A )
2313adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  U  =/=  {  .0.  } )
24 lveclmod 15859 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
255, 24syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
26 lmodabl 15672 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
2725, 26syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
282lsssssubg 15715 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
2925, 28syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
302, 4, 25, 9lsatlssel 28560 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
3129, 30sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  (SubGrp `  W ) )
322, 4, 25, 11lsatlssel 28560 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
3329, 32sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubGrp `  W ) )
343lsmcom 15150 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  Q  e.  (SubGrp `  W )  /\  R  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( Q  .(+)  R )  =  ( R  .(+)  Q ) )
3527, 31, 33, 34syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  .(+)  R )  =  ( R  .(+)  Q ) )
3635psseq2d 3269 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  C.  ( Q  .(+)  R )  <->  U  C.  ( R  .(+)  Q ) ) )
3715, 36mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C.  ( R 
.(+)  Q ) )
3837adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  U  C.  ( R  .(+)  Q ) )
39 simpr 447 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  -.  R  C_  U )
401, 2, 3, 4, 19, 20, 21, 22, 23, 38, 39lsatcvatlem 28612 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  R  C_  U )  ->  U  e.  A )
4129, 7sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
423lsmlub 14974 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  e.  (SubGrp `  W )  /\  R  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( ( Q  C_  U  /\  R  C_  U
)  <->  ( Q  .(+)  R )  C_  U )
)
4331, 33, 41, 42syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Q  C_  U  /\  R  C_  U
)  <->  ( Q  .(+)  R )  C_  U )
)
44 ssnpss 3279 . . . . . 6  |-  ( ( Q  .(+)  R )  C_  U  ->  -.  U  C.  ( Q  .(+)  R ) )
4543, 44syl6bi 219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q  C_  U  /\  R  C_  U
)  ->  -.  U  C.  ( Q  .(+)  R ) ) )
4645con2d 107 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  C.  ( Q  .(+)  R )  ->  -.  ( Q  C_  U  /\  R  C_  U ) ) )
47 ianor 474 . . . 4  |-  ( -.  ( Q  C_  U  /\  R  C_  U )  <-> 
( -.  Q  C_  U  \/  -.  R  C_  U ) )
4846, 47syl6ib 217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  C.  ( Q  .(+)  R )  -> 
( -.  Q  C_  U  \/  -.  R  C_  U ) ) )
4915, 48mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  Q  C_  U  \/  -.  R  C_  U ) )
5018, 40, 49mpjaodan 761 1  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    C_ wss 3152    C. wpss 3153   {csn 3640   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0gc0g 13400  SubGrpcsubg 14615   LSSumclsm 14945   Abelcabel 15090   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LVecclvec 15855  LSAtomsclsa 28537
This theorem is referenced by:  lsatcvat2  28614
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-lsatoms 28539  df-lcv 28582
  Copyright terms: Public domain W3C validator