Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat2 Unicode version

Theorem lsatcvat2 29546
Description: A subspace covered by the sum of two distinct atoms is an atom. (atcvat2i 23851 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat2.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsatcvat2.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsatcvat2.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatcvat2.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lsatcvat2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatcvat2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lsatcvat2.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
lsatcvat2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
lsatcvat2.n  |-  ( ph  ->  Q  =/=  R )
lsatcvat2.l  |-  ( ph  ->  U C ( Q 
.(+)  R ) )
Assertion
Ref Expression
lsatcvat2  |-  ( ph  ->  U  e.  A )

Proof of Theorem lsatcvat2
StepHypRef Expression
1 eqid 2412 . 2  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
2 lsatcvat2.s . 2  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lsatcvat2.p . 2  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
4 lsatcvat2.a . 2  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
5 lsatcvat2.w . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
6 lsatcvat2.u . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
7 lsatcvat2.q . 2  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
8 lsatcvat2.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
9 lsatcvat2.n . . 3  |-  ( ph  ->  Q  =/=  R )
10 lsatcvat2.c . . . . 5  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
11 lsatcvat2.l . . . . 5  |-  ( ph  ->  U C ( Q 
.(+)  R ) )
121, 3, 2, 4, 10, 5, 6, 7, 8, 11lsatcv1 29543 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  =  {
( 0g `  W
) }  <->  Q  =  R ) )
1312necon3bid 2610 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  =/=  {
( 0g `  W
) }  <->  Q  =/=  R ) )
149, 13mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  U  =/=  { ( 0g `  W ) } )
15 lveclmod 16141 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
165, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
172, 4, 16, 7lsatlssel 29492 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
182, 4, 16, 8lsatlssel 29492 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
192, 3lsmcl 16118 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Q  e.  S  /\  R  e.  S )  ->  ( Q  .(+)  R )  e.  S )
2016, 17, 18, 19syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  .(+)  R )  e.  S )
212, 10, 5, 6, 20, 11lcvpss 29519 . 2  |-  ( ph  ->  U  C.  ( Q 
.(+)  R ) )
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 21lsatcvat 29545 1  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   {csn 3782   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   0gc0g 13686   LSSumclsm 15231   LModclmod 15913   LSubSpclss 15971   LVecclvec 16137  LSAtomsclsa 29469    <oLL clcv 29513
This theorem is referenced by:  lsatcvat3  29547
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-tpos 6446  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-0g 13690  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-subg 14904  df-cntz 15079  df-oppg 15105  df-lsm 15233  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-ur 15628  df-oppr 15691  df-dvdsr 15709  df-unit 15710  df-invr 15740  df-drng 15800  df-lmod 15915  df-lss 15972  df-lsp 16011  df-lvec 16138  df-lsatoms 29471  df-lcv 29514
  Copyright terms: Public domain W3C validator