Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat2 Structured version   Unicode version

Theorem lsatcvat2 29923
Description: A subspace covered by the sum of two distinct atoms is an atom. (atcvat2i 23895 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat2.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsatcvat2.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsatcvat2.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatcvat2.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lsatcvat2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatcvat2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lsatcvat2.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
lsatcvat2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
lsatcvat2.n  |-  ( ph  ->  Q  =/=  R )
lsatcvat2.l  |-  ( ph  ->  U C ( Q 
.(+)  R ) )
Assertion
Ref Expression
lsatcvat2  |-  ( ph  ->  U  e.  A )

Proof of Theorem lsatcvat2
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . 2  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
2 lsatcvat2.s . 2  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lsatcvat2.p . 2  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
4 lsatcvat2.a . 2  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
5 lsatcvat2.w . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
6 lsatcvat2.u . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
7 lsatcvat2.q . 2  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
8 lsatcvat2.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
9 lsatcvat2.n . . 3  |-  ( ph  ->  Q  =/=  R )
10 lsatcvat2.c . . . . 5  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
11 lsatcvat2.l . . . . 5  |-  ( ph  ->  U C ( Q 
.(+)  R ) )
121, 3, 2, 4, 10, 5, 6, 7, 8, 11lsatcv1 29920 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  =  {
( 0g `  W
) }  <->  Q  =  R ) )
1312necon3bid 2638 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  =/=  {
( 0g `  W
) }  <->  Q  =/=  R ) )
149, 13mpbird 225 . 2  |-  ( ph  ->  U  =/=  { ( 0g `  W ) } )
15 lveclmod 16183 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
165, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
172, 4, 16, 7lsatlssel 29869 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
182, 4, 16, 8lsatlssel 29869 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
192, 3lsmcl 16160 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Q  e.  S  /\  R  e.  S )  ->  ( Q  .(+)  R )  e.  S )
2016, 17, 18, 19syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  .(+)  R )  e.  S )
212, 10, 5, 6, 20, 11lcvpss 29896 . 2  |-  ( ph  ->  U  C.  ( Q 
.(+)  R ) )
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 21lsatcvat 29922 1  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   {csn 3816   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   0gc0g 13728   LSSumclsm 15273   LModclmod 15955   LSubSpclss 16013   LVecclvec 16179  LSAtomsclsa 29846    <oLL clcv 29890
This theorem is referenced by:  lsatcvat3  29924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-0g 13732  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-cntz 15121  df-oppg 15147  df-lsm 15275  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-drng 15842  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-lvec 16180  df-lsatoms 29848  df-lcv 29891
  Copyright terms: Public domain W3C validator