Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat2 Unicode version

Theorem lsatcvat2 29312
Description: A subspace covered by the sum of two distinct atoms is an atom. (atcvat2i 23280 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat2.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsatcvat2.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsatcvat2.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatcvat2.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lsatcvat2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatcvat2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lsatcvat2.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
lsatcvat2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
lsatcvat2.n  |-  ( ph  ->  Q  =/=  R )
lsatcvat2.l  |-  ( ph  ->  U C ( Q 
.(+)  R ) )
Assertion
Ref Expression
lsatcvat2  |-  ( ph  ->  U  e.  A )

Proof of Theorem lsatcvat2
StepHypRef Expression
1 eqid 2366 . 2  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
2 lsatcvat2.s . 2  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lsatcvat2.p . 2  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
4 lsatcvat2.a . 2  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
5 lsatcvat2.w . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
6 lsatcvat2.u . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
7 lsatcvat2.q . 2  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
8 lsatcvat2.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
9 lsatcvat2.n . . 3  |-  ( ph  ->  Q  =/=  R )
10 lsatcvat2.c . . . . 5  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
11 lsatcvat2.l . . . . 5  |-  ( ph  ->  U C ( Q 
.(+)  R ) )
121, 3, 2, 4, 10, 5, 6, 7, 8, 11lsatcv1 29309 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  =  {
( 0g `  W
) }  <->  Q  =  R ) )
1312necon3bid 2564 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  =/=  {
( 0g `  W
) }  <->  Q  =/=  R ) )
149, 13mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  U  =/=  { ( 0g `  W ) } )
15 lveclmod 16069 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
165, 15syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
172, 4, 16, 7lsatlssel 29258 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
182, 4, 16, 8lsatlssel 29258 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
192, 3lsmcl 16046 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Q  e.  S  /\  R  e.  S )  ->  ( Q  .(+)  R )  e.  S )
2016, 17, 18, 19syl3anc 1183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  .(+)  R )  e.  S )
212, 10, 5, 6, 20, 11lcvpss 29285 . 2  |-  ( ph  ->  U  C.  ( Q 
.(+)  R ) )
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 21lsatcvat 29311 1  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   {csn 3729   class class class wbr 4125   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   0gc0g 13610   LSSumclsm 15155   LModclmod 15837   LSubSpclss 15899   LVecclvec 16065  LSAtomsclsa 29235    <oLL clcv 29279
This theorem is referenced by:  lsatcvat3  29313
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-tpos 6376  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-0g 13614  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-subg 14828  df-cntz 15003  df-oppg 15029  df-lsm 15157  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-oppr 15615  df-dvdsr 15633  df-unit 15634  df-invr 15664  df-drng 15724  df-lmod 15839  df-lss 15900  df-lsp 15939  df-lvec 16066  df-lsatoms 29237  df-lcv 29280
  Copyright terms: Public domain W3C validator