Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat3 Structured version   Unicode version

Theorem lsatcvat3 29850
 Description: A condition implying that a certain subspace is an atom. Part of Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (atcvat3i 23899 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat3.s
lsatcvat3.p
lsatcvat3.a LSAtoms
lsatcvat3.w
lsatcvat3.u
lsatcvat3.q
lsatcvat3.r
lsatcvat3.n
lsatcvat3.m
lsatcvat3.l
Assertion
Ref Expression
lsatcvat3

Proof of Theorem lsatcvat3
StepHypRef Expression
1 lsatcvat3.s . 2
2 lsatcvat3.p . 2
3 lsatcvat3.a . 2 LSAtoms
4 eqid 2436 . 2 L L
5 lsatcvat3.w . 2
6 lveclmod 16178 . . . 4
75, 6syl 16 . . 3
8 lsatcvat3.u . . 3
9 lsatcvat3.q . . . . 5
101, 3, 7, 9lsatlssel 29795 . . . 4
11 lsatcvat3.r . . . . 5
121, 3, 7, 11lsatlssel 29795 . . . 4
131, 2lsmcl 16155 . . . 4
147, 10, 12, 13syl3anc 1184 . . 3
151lssincl 16041 . . 3
167, 8, 14, 15syl3anc 1184 . 2
17 lsatcvat3.n . 2
18 lsatcvat3.m . . . . 5
191, 2, 3, 4, 5, 8, 11lcv1 29839 . . . . 5 L
2018, 19mpbid 202 . . . 4 L
21 lmodabl 15991 . . . . . . . . . . 11
227, 21syl 16 . . . . . . . . . 10
231lsssssubg 16034 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
247, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
2524, 10sseldd 3349 . . . . . . . . . 10 SubGrp
2624, 12sseldd 3349 . . . . . . . . . 10 SubGrp
272lsmcom 15473 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
2822, 25, 26, 27syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
2928oveq2d 6097 . . . . . . . 8
3024, 8sseldd 3349 . . . . . . . . 9 SubGrp
312lsmass 15302 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp SubGrp
3230, 26, 25, 31syl3anc 1184 . . . . . . . 8
3329, 32eqtr4d 2471 . . . . . . 7
341, 2lsmcl 16155 . . . . . . . . . 10
357, 8, 12, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
3624, 35sseldd 3349 . . . . . . . 8 SubGrp
37 lsatcvat3.l . . . . . . . 8
382lsmless2 15294 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp
3936, 36, 37, 38syl3anc 1184 . . . . . . 7
4033, 39eqsstrd 3382 . . . . . 6
412lsmidm 15296 . . . . . . 7 SubGrp
4236, 41syl 16 . . . . . 6
4340, 42sseqtrd 3384 . . . . 5
4424, 14sseldd 3349 . . . . . 6 SubGrp
452lsmub2 15291 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
4625, 26, 45syl2anc 643 . . . . . 6
472lsmless2 15294 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
4830, 44, 46, 47syl3anc 1184 . . . . 5
4943, 48eqssd 3365 . . . 4
5020, 49breqtrrd 4238 . . 3 L
511, 2, 4, 7, 8, 14, 50lcvexchlem4 29835 . 2 L
521, 2, 3, 4, 5, 16, 9, 11, 17, 51lsatcvat2 29849 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599   cin 3319   wss 3320   class class class wbr 4212  cfv 5454  (class class class)co 6081  SubGrpcsubg 14938  clsm 15268  cabel 15413  clmod 15950  clss 16008  clvec 16174  LSAtomsclsa 29772   L clcv 29816 This theorem is referenced by:  l1cvat  29853 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-0g 13727  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-oppg 15142  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-drng 15837  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lvec 16175  df-lsatoms 29774  df-lcv 29817
 Copyright terms: Public domain W3C validator