Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcveq0 Unicode version

Theorem lsatcveq0 29198
Description: A subspace covered by an atom must be the zero subspace. (atcveq0 23692 analog.) (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcveq0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatcveq0.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsatcveq0.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatcveq0.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lsatcveq0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatcveq0.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lsatcveq0.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
Assertion
Ref Expression
lsatcveq0  |-  ( ph  ->  ( U C Q  <-> 
U  =  {  .0.  } ) )

Proof of Theorem lsatcveq0
StepHypRef Expression
1 lsatcveq0.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
2 lsatcveq0.c . . . . 5  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
3 lsatcveq0.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
43adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U C Q )  ->  W  e.  LVec )
5 lsatcveq0.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
65adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U C Q )  ->  U  e.  S )
7 lsatcveq0.a . . . . . . 7  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
8 lveclmod 16098 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
93, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
10 lsatcveq0.q . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
111, 7, 9, 10lsatlssel 29163 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
1211adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U C Q )  ->  Q  e.  S )
13 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U C Q )  ->  U C Q )
141, 2, 4, 6, 12, 13lcvpss 29190 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  U C Q )  ->  U  C.  Q )
1514ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U C Q  ->  U  C.  Q
) )
16 lsatcveq0.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
1716, 7, 2, 3, 10lsatcv0 29197 . . . 4  |-  ( ph  ->  {  .0.  } C Q )
1833ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  {  .0.  } C Q  /\  U  C.  Q )  ->  W  e.  LVec )
1916, 1lsssn0 15944 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  {  .0.  }  e.  S )
209, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  e.  S )
21203ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  {  .0.  } C Q  /\  U  C.  Q )  ->  {  .0.  }  e.  S )
22113ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  {  .0.  } C Q  /\  U  C.  Q )  ->  Q  e.  S )
2353ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  {  .0.  } C Q  /\  U  C.  Q )  ->  U  e.  S )
24 simp2 958 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  {  .0.  } C Q  /\  U  C.  Q )  ->  {  .0.  } C Q )
2516, 1lss0ss 15945 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  {  .0.  } 
C_  U )
269, 5, 25syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  U )
27263ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  {  .0.  } C Q  /\  U  C.  Q )  ->  {  .0.  } 
C_  U )
28 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  {  .0.  } C Q  /\  U  C.  Q )  ->  U  C.  Q )
291, 2, 18, 21, 22, 23, 24, 27, 28lcvnbtwn3 29194 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  {  .0.  } C Q  /\  U  C.  Q )  ->  U  =  {  .0.  } )
30293exp 1152 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( {  .0.  } C Q  ->  ( U 
C.  Q  ->  U  =  {  .0.  } ) ) )
3117, 30mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  C.  Q  ->  U  =  {  .0.  } ) )
3215, 31syld 42 . 2  |-  ( ph  ->  ( U C Q  ->  U  =  {  .0.  } ) )
33 breq1 4149 . . 3  |-  ( U  =  {  .0.  }  ->  ( U C Q  <->  {  .0.  } C Q ) )
3417, 33syl5ibrcom 214 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  =  {  .0.  }  ->  U C Q ) )
3532, 34impbid 184 1  |-  ( ph  ->  ( U C Q  <-> 
U  =  {  .0.  } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3256    C. wpss 3257   {csn 3750   class class class wbr 4146   ` cfv 5387   0gc0g 13643   LModclmod 15870   LSubSpclss 15928   LVecclvec 16094  LSAtomsclsa 29140    <oLL clcv 29184
This theorem is referenced by:  lcvp  29206  lsatcv1  29214
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-tpos 6408  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-0g 13647  df-mnd 14610  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-cmn 15334  df-abl 15335  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-ur 15585  df-oppr 15648  df-dvdsr 15666  df-unit 15667  df-invr 15697  df-drng 15757  df-lmod 15872  df-lss 15929  df-lsp 15968  df-lvec 16095  df-lsatoms 29142  df-lcv 29185
  Copyright terms: Public domain W3C validator