Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatelbN Unicode version

Theorem lsatelbN 29121
Description: A nonzero vector in an atom determines the atom. (Contributed by NM, 3-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatelb.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsatelb.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatelb.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsatelb.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatelb.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatelb.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lsatelb.u  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
Assertion
Ref Expression
lsatelbN  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  U  =  ( N `  { X } ) ) )

Proof of Theorem lsatelbN
StepHypRef Expression
1 lsatelb.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
2 lsatelb.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 lsatelb.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
4 lsatelb.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
54adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  U )  ->  W  e.  LVec )
6 lsatelb.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
76adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  U )  ->  U  e.  A )
8 simpr 448 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  U )
9 lsatelb.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
10 eldifsn 3870 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( X  e.  V  /\  X  =/= 
.0.  ) )
119, 10sylib 189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  V  /\  X  =/=  .0.  ) )
1211simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
1312adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  U )  ->  X  =/=  .0.  )
141, 2, 3, 5, 7, 8, 13lsatel 29120 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  U )  ->  U  =  ( N `  { X } ) )
15 eqimss2 3344 . . . 4  |-  ( U  =  ( N `  { X } )  -> 
( N `  { X } )  C_  U
)
1615adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  U  =  ( N `  { X } ) )  -> 
( N `  { X } )  C_  U
)
17 lsatelb.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
18 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
19 lveclmod 16105 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
204, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2118, 3, 20, 6lsatlssel 29112 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  ( LSubSp `  W ) )
229eldifad 3275 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2317, 18, 2, 20, 21, 22lspsnel5 15998 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  ( N `  { X } )  C_  U
) )
2423adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  U  =  ( N `  { X } ) )  -> 
( X  e.  U  <->  ( N `  { X } )  C_  U
) )
2516, 24mpbird 224 . 2  |-  ( (
ph  /\  U  =  ( N `  { X } ) )  ->  X  e.  U )
2614, 25impbida 806 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  U  <->  U  =  ( N `  { X } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550    \ cdif 3260    C_ wss 3263   {csn 3757   ` cfv 5394   Basecbs 13396   0gc0g 13650   LModclmod 15877   LSubSpclss 15935   LSpanclspn 15974   LVecclvec 16101  LSAtomsclsa 29089
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-oppr 15655  df-dvdsr 15673  df-unit 15674  df-invr 15704  df-drng 15764  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-lsp 15975  df-lvec 16102  df-lsatoms 29091
  Copyright terms: Public domain W3C validator