Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatexch Unicode version

Theorem lsatexch 29233
 Description: The atom exchange property. Proposition 1(i) of [Kalmbach] p. 140. A version of this theorem was originally proved by Hermann Grassmann in 1862. (atexch 22961 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatexch.s
lsatexch.p
lsatexch.o
lsatexch.a LSAtoms
lsatexch.w
lsatexch.u
lsatexch.q
lsatexch.r
lsatexch.l
lsatexch.z
Assertion
Ref Expression
lsatexch

Proof of Theorem lsatexch
StepHypRef Expression
1 lsatexch.w . . . . . 6
2 lveclmod 15859 . . . . . 6
31, 2syl 15 . . . . 5
4 lsatexch.s . . . . . 6
54lsssssubg 15715 . . . . 5 SubGrp
63, 5syl 15 . . . 4 SubGrp
7 lsatexch.u . . . 4
86, 7sseldd 3181 . . 3 SubGrp
9 lsatexch.a . . . . 5 LSAtoms
10 lsatexch.r . . . . 5
114, 9, 3, 10lsatlssel 29187 . . . 4
126, 11sseldd 3181 . . 3 SubGrp
13 lsatexch.p . . . 4
1413lsmub2 14968 . . 3 SubGrp SubGrp
158, 12, 14syl2anc 642 . 2
16 eqid 2283 . . 3 L L
174, 13lsmcl 15836 . . . 4
183, 7, 11, 17syl3anc 1182 . . 3
19 lsatexch.q . . . . 5
204, 9, 3, 19lsatlssel 29187 . . . 4
214, 13lsmcl 15836 . . . 4
223, 7, 20, 21syl3anc 1182 . . 3
23 lsatexch.z . . . . . . 7
24 lsatexch.o . . . . . . . 8
254, 13, 24, 9, 16, 1, 7, 19lcvp 29230 . . . . . . 7 L
2623, 25mpbid 201 . . . . . 6 L
274, 16, 1, 7, 22, 26lcvpss 29214 . . . . 5
2813lsmub1 14967 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
298, 12, 28syl2anc 642 . . . . . 6
30 lsatexch.l . . . . . 6
316, 20sseldd 3181 . . . . . . 7 SubGrp
326, 18sseldd 3181 . . . . . . 7 SubGrp
3313lsmlub 14974 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp SubGrp
348, 31, 32, 33syl3anc 1182 . . . . . 6
3529, 30, 34mpbi2and 887 . . . . 5
36 psssstr 3282 . . . . 5
3727, 35, 36syl2anc 642 . . . 4
384, 13, 9, 16, 1, 7, 10lcv2 29232 . . . 4 L
3937, 38mpbid 201 . . 3 L
404, 16, 1, 7, 18, 22, 39, 27, 35lcvnbtwn2 29217 . 2
4115, 40sseqtr4d 3215 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   cin 3151   wss 3152   wpss 3153  csn 3640   class class class wbr 4023  cfv 5255  (class class class)co 5858  c0g 13400  SubGrpcsubg 14615  clsm 14945  clmod 15627  clss 15689  clvec 15855  LSAtomsclsa 29164   L clcv 29208 This theorem is referenced by:  lsatexch1  29236 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-lsatoms 29166  df-lcv 29209
 Copyright terms: Public domain W3C validator