Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatexch1 Structured version   Unicode version

Theorem lsatexch1 29844
Description: The atom exch1ange property. (hlatexch1 30192 analog.) (Contributed by NM, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatexch1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsatexch1.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatexch1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatexch1.u  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
lsatexch1.q  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
lsatexch1.r  |-  ( ph  ->  S  e.  A )
lsatexch1.l  |-  ( ph  ->  Q  C_  ( S  .(+) 
R ) )
lsatexch1.z  |-  ( ph  ->  Q  =/=  S )
Assertion
Ref Expression
lsatexch1  |-  ( ph  ->  R  C_  ( S  .(+) 
Q ) )

Proof of Theorem lsatexch1
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . 2  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2 lsatexch1.p . 2  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
3 eqid 2436 . 2  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
4 lsatexch1.a . 2  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
5 lsatexch1.w . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
6 lveclmod 16178 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 lsatexch1.r . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  A )
91, 4, 7, 8lsatlssel 29795 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  ( LSubSp `  W ) )
10 lsatexch1.u . 2  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
11 lsatexch1.q . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
12 lsatexch1.l . 2  |-  ( ph  ->  Q  C_  ( S  .(+) 
R ) )
13 lsatexch1.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  =/=  S )
1413necomd 2687 . . 3  |-  ( ph  ->  S  =/=  Q )
153, 4, 5, 8, 10lsatnem0 29843 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  =/=  Q  <->  ( S  i^i  Q )  =  { ( 0g
`  W ) } ) )
1614, 15mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  Q
)  =  { ( 0g `  W ) } )
171, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12, 16lsatexch 29841 1  |-  ( ph  ->  R  C_  ( S  .(+) 
Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599    i^i cin 3319    C_ wss 3320   {csn 3814   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   0gc0g 13723   LSSumclsm 15268   LModclmod 15950   LSubSpclss 16008   LVecclvec 16174  LSAtomsclsa 29772
This theorem is referenced by:  lsatcvatlem  29847  dochexmidlem3  32260
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-0g 13727  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-oppg 15142  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-drng 15837  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lvec 16175  df-lsatoms 29774  df-lcv 29817
  Copyright terms: Public domain W3C validator