Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatlssel Unicode version

Theorem lsatlssel 29112
Description: An atom is a subspace. (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatlss.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsatlss.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lssatssel.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lssatssel.u  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
Assertion
Ref Expression
lsatlssel  |-  ( ph  ->  U  e.  S )

Proof of Theorem lsatlssel
StepHypRef Expression
1 lssatssel.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lsatlss.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lsatlss.a . . . 4  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
42, 3lsatlss 29111 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  C_  S )
51, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
6 lssatssel.u . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
75, 6sseldd 3292 1  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3263   ` cfv 5394   LModclmod 15877   LSubSpclss 15935  LSAtomsclsa 29089
This theorem is referenced by:  lsatssv  29113  lsatssn0  29117  lsatcmp  29118  lsatel  29120  lsatelbN  29121  lrelat  29129  lcvat  29145  lsatcv0  29146  lsatcveq0  29147  lcvp  29155  lcv1  29156  lcv2  29157  lsatexch  29158  lsatnem0  29160  lsatexch1  29161  lsatcv0eq  29162  lsatcv1  29163  lsatcvatlem  29164  lsatcvat  29165  lsatcvat2  29166  lsatcvat3  29167  l1cvat  29170  dochsat  31498  dihsmatrn  31551  dvh3dimatN  31554  dvh2dimatN  31555  dochsatshp  31566  dochexmidlem1  31575  dochexmidlem4  31578  dochexmidlem5  31579  dochexmidlem6  31580  dochexmidlem7  31581  lcfrlem29  31686  lcfrlem35  31692  mapd1dim2lem1N  31759  mapdcnvatN  31781  mapdat  31782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-plusg 13469  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-lsp 15975  df-lsatoms 29091
  Copyright terms: Public domain W3C validator