Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatn0 Structured version   Unicode version

Theorem lsatn0 29871
Description: A 1-dim subspace (atom) of a left module or left vector space is nonzero. (atne0 23853 analog.) (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatn0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatn0.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatn0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsatn0.u  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
Assertion
Ref Expression
lsatn0  |-  ( ph  ->  U  =/=  {  .0.  } )

Proof of Theorem lsatn0
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatn0.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
2 lsatn0.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
3 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
4 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
5 lsatn0.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
6 lsatn0.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
73, 4, 5, 6islsat 29863 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( U  e.  A  <->  E. v  e.  ( ( Base `  W
)  \  {  .0.  } ) U  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) ) )
82, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  e.  A  <->  E. v  e.  ( (
Base `  W )  \  {  .0.  } ) U  =  ( (
LSpan `  W ) `  { v } ) ) )
91, 8mpbid 203 . 2  |-  ( ph  ->  E. v  e.  ( ( Base `  W
)  \  {  .0.  } ) U  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) )
10 eldifsn 3929 . . . . 5  |-  ( v  e.  ( ( Base `  W )  \  {  .0.  } )  <->  ( v  e.  ( Base `  W
)  /\  v  =/=  .0.  ) )
113, 5, 4lspsneq0 16093 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  v  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( ( LSpan `  W
) `  { v } )  =  {  .0.  }  <->  v  =  .0.  ) )
122, 11sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
( LSpan `  W ) `  { v } )  =  {  .0.  }  <->  v  =  .0.  ) )
1312biimpd 200 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
( LSpan `  W ) `  { v } )  =  {  .0.  }  ->  v  =  .0.  )
)
1413necon3d 2641 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( v  =/=  .0.  ->  ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  =/=  {  .0.  }
) )
1514expimpd 588 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( Base `  W
)  /\  v  =/=  .0.  )  ->  ( (
LSpan `  W ) `  { v } )  =/=  {  .0.  }
) )
1610, 15syl5bi 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( ( Base `  W
)  \  {  .0.  } )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  =/=  {  .0.  }
) )
17 neeq1 2611 . . . . 5  |-  ( U  =  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } )  -> 
( U  =/=  {  .0.  }  <->  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } )  =/= 
{  .0.  } ) )
1817biimprcd 218 . . . 4  |-  ( ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  =/=  {  .0.  }  ->  ( U  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  ->  U  =/=  {  .0.  } ) )
1916, 18syl6 32 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( ( Base `  W
)  \  {  .0.  } )  ->  ( U  =  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } )  ->  U  =/=  {  .0.  }
) ) )
2019rexlimdv 2831 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  ( ( Base `  W
)  \  {  .0.  } ) U  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  ->  U  =/=  {  .0.  } ) )
219, 20mpd 15 1  |-  ( ph  ->  U  =/=  {  .0.  } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   E.wrex 2708    \ cdif 3319   {csn 3816   ` cfv 5457   Basecbs 13474   0gc0g 13728   LModclmod 15955   LSpanclspn 16052  LSAtomsclsa 29846
This theorem is referenced by:  lsatspn0  29872  lsatssn0  29874  lsatcmp  29875  lsatcv0  29903  dochsat  32255  dochsatshp  32323  dochshpsat  32326  dochexmidlem1  32332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-lsatoms 29848
  Copyright terms: Public domain W3C validator