Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatn0 Unicode version

Theorem lsatn0 29494
Description: A 1-dim subspace (atom) of a left module or left vector space is nonzero. (atne0 23809 analog.) (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatn0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatn0.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatn0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsatn0.u  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
Assertion
Ref Expression
lsatn0  |-  ( ph  ->  U  =/=  {  .0.  } )

Proof of Theorem lsatn0
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatn0.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
2 lsatn0.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
3 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
4 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
5 lsatn0.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
6 lsatn0.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
73, 4, 5, 6islsat 29486 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( U  e.  A  <->  E. v  e.  ( ( Base `  W
)  \  {  .0.  } ) U  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) ) )
82, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  e.  A  <->  E. v  e.  ( (
Base `  W )  \  {  .0.  } ) U  =  ( (
LSpan `  W ) `  { v } ) ) )
91, 8mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  E. v  e.  ( ( Base `  W
)  \  {  .0.  } ) U  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } ) )
10 eldifsn 3895 . . . . 5  |-  ( v  e.  ( ( Base `  W )  \  {  .0.  } )  <->  ( v  e.  ( Base `  W
)  /\  v  =/=  .0.  ) )
113, 5, 4lspsneq0 16051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  v  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( ( LSpan `  W
) `  { v } )  =  {  .0.  }  <->  v  =  .0.  ) )
122, 11sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
( LSpan `  W ) `  { v } )  =  {  .0.  }  <->  v  =  .0.  ) )
1312biimpd 199 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
( LSpan `  W ) `  { v } )  =  {  .0.  }  ->  v  =  .0.  )
)
1413necon3d 2613 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( v  =/=  .0.  ->  ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  =/=  {  .0.  }
) )
1514expimpd 587 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  ( Base `  W
)  /\  v  =/=  .0.  )  ->  ( (
LSpan `  W ) `  { v } )  =/=  {  .0.  }
) )
1610, 15syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( ( Base `  W
)  \  {  .0.  } )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  =/=  {  .0.  }
) )
17 neeq1 2583 . . . . 5  |-  ( U  =  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } )  -> 
( U  =/=  {  .0.  }  <->  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } )  =/= 
{  .0.  } ) )
1817biimprcd 217 . . . 4  |-  ( ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  =/=  {  .0.  }  ->  ( U  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  ->  U  =/=  {  .0.  } ) )
1916, 18syl6 31 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( ( Base `  W
)  \  {  .0.  } )  ->  ( U  =  ( ( LSpan `  W ) `  {
v } )  ->  U  =/=  {  .0.  }
) ) )
2019rexlimdv 2797 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  ( ( Base `  W
)  \  {  .0.  } ) U  =  ( ( LSpan `  W ) `  { v } )  ->  U  =/=  {  .0.  } ) )
219, 20mpd 15 1  |-  ( ph  ->  U  =/=  {  .0.  } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   E.wrex 2675    \ cdif 3285   {csn 3782   ` cfv 5421   Basecbs 13432   0gc0g 13686   LModclmod 15913   LSpanclspn 16010  LSAtomsclsa 29469
This theorem is referenced by:  lsatspn0  29495  lsatssn0  29497  lsatcmp  29498  lsatcv0  29526  dochsat  31878  dochsatshp  31946  dochshpsat  31949  dochexmidlem1  31955
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-plusg 13505  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-lmod 15915  df-lss 15972  df-lsp 16011  df-lsatoms 29471
  Copyright terms: Public domain W3C validator