Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatnem0 Unicode version

Theorem lsatnem0 29161
Description: The meet of distinct atoms is the zero subspace. (atnemeq0 23729 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatnem0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatnem0.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatnem0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatnem0.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
lsatnem0.r  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
Assertion
Ref Expression
lsatnem0  |-  ( ph  ->  ( Q  =/=  R  <->  ( Q  i^i  R )  =  {  .0.  }
) )

Proof of Theorem lsatnem0
StepHypRef Expression
1 lsatnem0.a . . . . 5  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
2 lsatnem0.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
3 lsatnem0.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
4 lsatnem0.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
51, 2, 3, 4lsatcmp 29119 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( R  C_  Q  <->  R  =  Q ) )
6 eqcom 2390 . . . 4  |-  ( R  =  Q  <->  Q  =  R )
75, 6syl6bb 253 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  C_  Q  <->  Q  =  R ) )
87necon3bbid 2585 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  R  C_  Q 
<->  Q  =/=  R ) )
9 lsatnem0.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
10 eqid 2388 . . 3  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
11 lveclmod 16106 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
122, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
1310, 1, 12, 4lsatlssel 29113 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( LSubSp `  W ) )
149, 10, 1, 2, 13, 3lsatnle 29160 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  R  C_  Q 
<->  ( Q  i^i  R
)  =  {  .0.  } ) )
158, 14bitr3d 247 1  |-  ( ph  ->  ( Q  =/=  R  <->  ( Q  i^i  R )  =  {  .0.  }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551    i^i cin 3263    C_ wss 3264   {csn 3758   ` cfv 5395   0gc0g 13651   LModclmod 15878   LSubSpclss 15936   LVecclvec 16102  LSAtomsclsa 29090
This theorem is referenced by:  lsatexch1  29162  lsatcv0eq  29163  lsatcvatlem  29165
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-tpos 6416  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-0g 13655  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-subg 14869  df-cntz 15044  df-oppg 15070  df-lsm 15198  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-ur 15593  df-oppr 15656  df-dvdsr 15674  df-unit 15675  df-invr 15705  df-drng 15765  df-lmod 15880  df-lss 15937  df-lsp 15976  df-lvec 16103  df-lsatoms 29092  df-lcv 29135
  Copyright terms: Public domain W3C validator