Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatnle Structured version   Unicode version

Theorem lsatnle 29780
Description: The meet of a subspace and an incomparable atom is the zero subspace. (atnssm0 23872 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatnle.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatnle.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsatnle.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatnle.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsatnle.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lsatnle.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
Assertion
Ref Expression
lsatnle  |-  ( ph  ->  ( -.  Q  C_  U 
<->  ( U  i^i  Q
)  =  {  .0.  } ) )

Proof of Theorem lsatnle
StepHypRef Expression
1 lsatnle.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
2 eqid 2436 . . 3  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
3 lsatnle.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
4 eqid 2436 . . 3  |-  (  <oLL  `  W
)  =  (  <oLL  `  W
)
5 lsatnle.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
6 lsatnle.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
7 lsatnle.q . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7lcv1 29777 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  Q  C_  U 
<->  U (  <oLL  `  W ) ( U ( LSSum `  W ) Q ) ) )
9 lsatnle.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
101, 2, 9, 3, 4, 5, 6, 7lcvp 29776 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  i^i  Q )  =  {  .0.  }  <-> 
U (  <oLL  `  W ) ( U ( LSSum `  W ) Q ) ) )
118, 10bitr4d 248 1  |-  ( ph  ->  ( -.  Q  C_  U 
<->  ( U  i^i  Q
)  =  {  .0.  } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3312    C_ wss 3313   {csn 3807   class class class wbr 4205   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   0gc0g 13716   LSSumclsm 15261   LSubSpclss 16001   LVecclvec 16167  LSAtomsclsa 29710    <oLL clcv 29754
This theorem is referenced by:  lsatnem0  29781
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-tpos 6472  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-0g 13720  df-mre 13804  df-mrc 13805  df-acs 13807  df-mnd 14683  df-submnd 14732  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-subg 14934  df-cntz 15109  df-oppg 15135  df-lsm 15263  df-cmn 15407  df-abl 15408  df-mgp 15642  df-rng 15656  df-ur 15658  df-oppr 15721  df-dvdsr 15739  df-unit 15740  df-invr 15770  df-drng 15830  df-lmod 15945  df-lss 16002  df-lsp 16041  df-lvec 16168  df-lsatoms 29712  df-lcv 29755
  Copyright terms: Public domain W3C validator