Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatset Structured version   Unicode version

Theorem lsatset 29715
 Description: The set of all 1-dim subspaces (atoms) of a left module or left vector space. (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatset.v
lsatset.n
lsatset.z
lsatset.a LSAtoms
Assertion
Ref Expression
lsatset
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem lsatset
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsatset.a . 2 LSAtoms
2 elex 2956 . . 3
3 fveq2 5720 . . . . . . . 8
4 lsatset.v . . . . . . . 8
53, 4syl6eqr 2485 . . . . . . 7
6 fveq2 5720 . . . . . . . . 9
7 lsatset.z . . . . . . . . 9
86, 7syl6eqr 2485 . . . . . . . 8
98sneqd 3819 . . . . . . 7
105, 9difeq12d 3458 . . . . . 6
11 fveq2 5720 . . . . . . . 8
12 lsatset.n . . . . . . . 8
1311, 12syl6eqr 2485 . . . . . . 7
1413fveq1d 5722 . . . . . 6
1510, 14mpteq12dv 4279 . . . . 5
1615rneqd 5089 . . . 4
17 df-lsatoms 29701 . . . 4 LSAtoms
18 fvex 5734 . . . . . . . 8
1912, 18eqeltri 2505 . . . . . . 7
2019rnex 5125 . . . . . 6
21 p0ex 4378 . . . . . 6
2220, 21unex 4699 . . . . 5
23 eqid 2435 . . . . . . 7
24 fvrn0 5745 . . . . . . . 8
2524a1i 11 . . . . . . 7
2623, 25fmpti 5884 . . . . . 6
27 frn 5589 . . . . . 6
2826, 27ax-mp 8 . . . . 5
2922, 28ssexi 4340 . . . 4
3016, 17, 29fvmpt 5798 . . 3 LSAtoms
312, 30syl 16 . 2 LSAtoms
321, 31syl5eq 2479 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   cdif 3309   cun 3310   wss 3312  c0 3620  csn 3806   cmpt 4258   crn 4871  wf 5442  cfv 5446  cbs 13461  c0g 13715  clspn 16039  LSAtomsclsa 29699 This theorem is referenced by:  islsat  29716  lsatlss  29721 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-lsatoms 29701
 Copyright terms: Public domain W3C validator