Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatspn0 Structured version   Unicode version

Theorem lsatspn0 29860
Description: The span of a vector is an atom iff the vector is nonzero. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatspn0.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsatspn0.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsatspn0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatspn0.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
isateln0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
isateln0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lsatspn0  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  e.  A  <->  X  =/=  .0.  ) )

Proof of Theorem lsatspn0
StepHypRef Expression
1 lsatspn0.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
2 lsatspn0.a . . . 4  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
3 isateln0.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
43adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  e.  A )  ->  W  e.  LMod )
5 simpr 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  e.  A )  -> 
( N `  { X } )  e.  A
)
61, 2, 4, 5lsatn0 29859 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  e.  A )  -> 
( N `  { X } )  =/=  {  .0.  } )
7 sneq 3827 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  .0.  ->  { X }  =  {  .0.  } )
87fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( X  =  .0.  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  {  .0.  } ) )
98adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  e.  A
)  /\  X  =  .0.  )  ->  ( N `
 { X }
)  =  ( N `
 {  .0.  }
) )
104adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  e.  A
)  /\  X  =  .0.  )  ->  W  e. 
LMod )
11 lsatspn0.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LSpan `  W )
121, 11lspsn0 16086 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( N `
 {  .0.  }
)  =  {  .0.  } )
1310, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  e.  A
)  /\  X  =  .0.  )  ->  ( N `
 {  .0.  }
)  =  {  .0.  } )
149, 13eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  e.  A
)  /\  X  =  .0.  )  ->  ( N `
 { X }
)  =  {  .0.  } )
1514ex 425 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  e.  A )  -> 
( X  =  .0. 
->  ( N `  { X } )  =  {  .0.  } ) )
1615necon3d 2641 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  e.  A )  -> 
( ( N `  { X } )  =/= 
{  .0.  }  ->  X  =/=  .0.  ) )
176, 16mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  e.  A )  ->  X  =/=  .0.  )
18 lsatspn0.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
193adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  .0.  )  ->  W  e. 
LMod )
20 isateln0.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2120adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  .0.  )  ->  X  e.  V )
22 simpr 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  .0.  )  ->  X  =/= 
.0.  )
23 eldifsn 3929 . . . 4  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( X  e.  V  /\  X  =/= 
.0.  ) )
2421, 22, 23sylanbrc 647 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  .0.  )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
2518, 11, 1, 2, 19, 24lsatlspsn 29853 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  .0.  )  ->  ( N `
 { X }
)  e.  A )
2617, 25impbida 807 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  e.  A  <->  X  =/=  .0.  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    \ cdif 3319   {csn 3816   ` cfv 5456   Basecbs 13471   0gc0g 13725   LModclmod 15952   LSpanclspn 16049  LSAtomsclsa 29834
This theorem is referenced by:  lsator0sp  29861  lcfl8b  32364  mapdpglem5N  32537  mapdpglem30a  32555  mapdpglem30b  32556
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lsatoms 29836
  Copyright terms: Public domain W3C validator