Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatssn0 Unicode version

Theorem lsatssn0 29814
Description: A subspace (or any class) including an atom is nonzero. (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatssn0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatssn0.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lsatssn0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsatssn0.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
lsatssn0.u  |-  ( ph  ->  Q  C_  U )
Assertion
Ref Expression
lsatssn0  |-  ( ph  ->  U  =/=  {  .0.  } )

Proof of Theorem lsatssn0
StepHypRef Expression
1 lsatssn0.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
3 lsatssn0.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
4 lsatssn0.q . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
52, 3, 1, 4lsatlssel 29809 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( LSubSp `  W ) )
6 lsatssn0.o . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
76, 2lss0ss 15722 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Q  e.  ( LSubSp `  W )
)  ->  {  .0.  } 
C_  Q )
81, 5, 7syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  Q )
96, 3, 1, 4lsatn0 29811 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  =/=  {  .0.  } )
109necomd 2542 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  =/=  Q )
11 df-pss 3181 . . . . . 6  |-  ( {  .0.  }  C.  Q  <->  ( {  .0.  }  C_  Q  /\  {  .0.  }  =/=  Q ) )
128, 10, 11sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C.  Q )
13 lsatssn0.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  C_  U )
14 psssstr 3295 . . . . 5  |-  ( ( {  .0.  }  C.  Q  /\  Q  C_  U
)  ->  {  .0.  } 
C.  U )
1512, 13, 14syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C.  U )
16 df-pss 3181 . . . 4  |-  ( {  .0.  }  C.  U  <->  ( {  .0.  }  C_  U  /\  {  .0.  }  =/=  U ) )
1715, 16sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  ( {  .0.  }  C_  U  /\  {  .0.  }  =/=  U ) )
1817simprd 449 . 2  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  =/=  U )
1918necomd 2542 1  |-  ( ph  ->  U  =/=  {  .0.  } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    C_ wss 3165    C. wpss 3166   {csn 3653   ` cfv 5271   0gc0g 13416   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705  LSAtomsclsa 29786
This theorem is referenced by:  lsatcmp2  29816
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lsatoms 29788
  Copyright terms: Public domain W3C validator