Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkr Unicode version

Theorem lshpkr 29307
Description: The kernel of functional  G is the hyperplane defining it. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lshpkr.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lshpkr.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lshpkr.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lshpkr.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lshpkr.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lshpkr.u  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
lshpkr.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lshpkr.e  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
lshpkr.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lshpkr.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lshpkr.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lshpkr.g  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
lshpkr.l  |-  L  =  (LKer `  W )
Assertion
Ref Expression
lshpkr  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  U )
Distinct variable groups:    x, k,
y,  .+    k, K, x    U, k, x, y    D, k    .x. , k, x, y   
k, Z, x, y   
x, V
Allowed substitution hints:    ph( x, y, k)    D( x, y)    .(+) ( x, y, k)    G( x, y, k)    H( x, y, k)    K( y)    L( x, y, k)    N( x, y, k)    V( y, k)    W( x, y, k)

Proof of Theorem lshpkr
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkr.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 eqid 2283 . . . . 5  |-  (LFnl `  W )  =  (LFnl `  W )
3 lshpkr.l . . . . 5  |-  L  =  (LKer `  W )
4 lshpkr.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 lveclmod 15859 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
64, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 lshpkr.a . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  W )
8 lshpkr.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
9 lshpkr.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
10 lshpkr.h . . . . . 6  |-  H  =  (LSHyp `  W )
11 lshpkr.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
12 lshpkr.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
13 lshpkr.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
14 lshpkr.d . . . . . 6  |-  D  =  (Scalar `  W )
15 lshpkr.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  D
)
16 lshpkr.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  W )
17 lshpkr.g . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
181, 7, 8, 9, 10, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 2lshpkrcl 29306 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  (LFnl `  W ) )
191, 2, 3, 6, 18lkrssv 29286 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  V )
2019sseld 3179 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( L `  G )  ->  v  e.  V
) )
21 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2221, 10, 6, 11lshplss 29171 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  ( LSubSp `  W ) )
231, 21lssel 15695 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  ( LSubSp `  W )  /\  v  e.  U )  ->  v  e.  V )
2422, 23sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  v  e.  V )
2524ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  U  ->  v  e.  V ) )
26 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
271, 14, 26, 2, 3ellkr 29279 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  (LFnl `  W )
)  ->  ( v  e.  ( L `  G
)  <->  ( v  e.  V  /\  ( G `
 v )  =  ( 0g `  D
) ) ) )
284, 18, 27syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( L `  G )  <-> 
( v  e.  V  /\  ( G `  v
)  =  ( 0g
`  D ) ) ) )
2928baibd 875 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
v  e.  ( L `
 G )  <->  ( G `  v )  =  ( 0g `  D ) ) )
304adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
3111adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  U  e.  H )
3212adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  Z  e.  V )
33 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  V )
3413adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  =  V )
351, 7, 8, 9, 10, 30, 31, 32, 33, 34, 14, 15, 16, 26, 17lshpkrlem1 29300 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
v  e.  U  <->  ( G `  v )  =  ( 0g `  D ) ) )
3629, 35bitr4d 247 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
v  e.  ( L `
 G )  <->  v  e.  U ) )
3736ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  V  ->  ( v  e.  ( L `  G )  <-> 
v  e.  U ) ) )
3820, 25, 37pm5.21ndd 343 . 2  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( L `  G )  <-> 
v  e.  U ) )
3938eqrdv 2281 1  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   {csn 3640    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   0gc0g 13400   LSSumclsm 14945   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728   LVecclvec 15855  LSHypclsh 29165  LFnlclfn 29247  LKerclk 29275
This theorem is referenced by:  lshpkrex  29308  dochsnkr2  31663
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-lshyp 29167  df-lfl 29248  df-lkr 29276
  Copyright terms: Public domain W3C validator