Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkr Structured version   Unicode version

Theorem lshpkr 29852
Description: The kernel of functional  G is the hyperplane defining it. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lshpkr.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lshpkr.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lshpkr.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lshpkr.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lshpkr.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lshpkr.u  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
lshpkr.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lshpkr.e  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
lshpkr.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lshpkr.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lshpkr.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lshpkr.g  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
lshpkr.l  |-  L  =  (LKer `  W )
Assertion
Ref Expression
lshpkr  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  U )
Distinct variable groups:    x, k,
y,  .+    k, K, x    U, k, x, y    D, k    .x. , k, x, y   
k, Z, x, y   
x, V
Allowed substitution hints:    ph( x, y, k)    D( x, y)    .(+) ( x, y, k)    G( x, y, k)    H( x, y, k)    K( y)    L( x, y, k)    N( x, y, k)    V( y, k)    W( x, y, k)

Proof of Theorem lshpkr
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkr.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 eqid 2435 . . . . 5  |-  (LFnl `  W )  =  (LFnl `  W )
3 lshpkr.l . . . . 5  |-  L  =  (LKer `  W )
4 lshpkr.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 lveclmod 16170 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 lshpkr.a . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  W )
8 lshpkr.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
9 lshpkr.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
10 lshpkr.h . . . . . 6  |-  H  =  (LSHyp `  W )
11 lshpkr.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
12 lshpkr.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
13 lshpkr.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
14 lshpkr.d . . . . . 6  |-  D  =  (Scalar `  W )
15 lshpkr.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  D
)
16 lshpkr.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  W )
17 lshpkr.g . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
181, 7, 8, 9, 10, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 2lshpkrcl 29851 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  (LFnl `  W ) )
191, 2, 3, 6, 18lkrssv 29831 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  V )
2019sseld 3339 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( L `  G )  ->  v  e.  V
) )
21 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2221, 10, 6, 11lshplss 29716 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  ( LSubSp `  W ) )
231, 21lssel 16006 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  ( LSubSp `  W )  /\  v  e.  U )  ->  v  e.  V )
2422, 23sylan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  v  e.  V )
2524ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  U  ->  v  e.  V ) )
26 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
271, 14, 26, 2, 3ellkr 29824 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  (LFnl `  W )
)  ->  ( v  e.  ( L `  G
)  <->  ( v  e.  V  /\  ( G `
 v )  =  ( 0g `  D
) ) ) )
284, 18, 27syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( L `  G )  <-> 
( v  e.  V  /\  ( G `  v
)  =  ( 0g
`  D ) ) ) )
2928baibd 876 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
v  e.  ( L `
 G )  <->  ( G `  v )  =  ( 0g `  D ) ) )
304adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
3111adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  U  e.  H )
3212adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  Z  e.  V )
33 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  V )
3413adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  =  V )
351, 7, 8, 9, 10, 30, 31, 32, 33, 34, 14, 15, 16, 26, 17lshpkrlem1 29845 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
v  e.  U  <->  ( G `  v )  =  ( 0g `  D ) ) )
3629, 35bitr4d 248 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
v  e.  ( L `
 G )  <->  v  e.  U ) )
3736ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  V  ->  ( v  e.  ( L `  G )  <-> 
v  e.  U ) ) )
3820, 25, 37pm5.21ndd 344 . 2  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( L `  G )  <-> 
v  e.  U ) )
3938eqrdv 2433 1  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   {csn 3806    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   iota_crio 6534   Basecbs 13461   +g cplusg 13521  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   0gc0g 13715   LSSumclsm 15260   LModclmod 15942   LSubSpclss 16000   LSpanclspn 16039   LVecclvec 16166  LSHypclsh 29710  LFnlclfn 29792  LKerclk 29820
This theorem is referenced by:  lshpkrex  29853  dochsnkr2  32208
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-lsm 15262  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-lvec 16167  df-lshyp 29712  df-lfl 29793  df-lkr 29821
  Copyright terms: Public domain W3C validator