Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkr Unicode version

Theorem lshpkr 29929
Description: The kernel of functional  G is the hyperplane defining it. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lshpkr.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lshpkr.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lshpkr.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lshpkr.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lshpkr.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lshpkr.u  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
lshpkr.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lshpkr.e  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
lshpkr.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lshpkr.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lshpkr.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lshpkr.g  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
lshpkr.l  |-  L  =  (LKer `  W )
Assertion
Ref Expression
lshpkr  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  U )
Distinct variable groups:    x, k,
y,  .+    k, K, x    U, k, x, y    D, k    .x. , k, x, y   
k, Z, x, y   
x, V
Allowed substitution hints:    ph( x, y, k)    D( x, y)    .(+) ( x, y, k)    G( x, y, k)    H( x, y, k)    K( y)    L( x, y, k)    N( x, y, k)    V( y, k)    W( x, y, k)

Proof of Theorem lshpkr
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkr.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 eqid 2296 . . . . 5  |-  (LFnl `  W )  =  (LFnl `  W )
3 lshpkr.l . . . . 5  |-  L  =  (LKer `  W )
4 lshpkr.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 lveclmod 15875 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
64, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 lshpkr.a . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  W )
8 lshpkr.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
9 lshpkr.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
10 lshpkr.h . . . . . 6  |-  H  =  (LSHyp `  W )
11 lshpkr.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
12 lshpkr.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
13 lshpkr.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
14 lshpkr.d . . . . . 6  |-  D  =  (Scalar `  W )
15 lshpkr.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  D
)
16 lshpkr.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  W )
17 lshpkr.g . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
181, 7, 8, 9, 10, 4, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 2lshpkrcl 29928 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  (LFnl `  W ) )
191, 2, 3, 6, 18lkrssv 29908 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  V )
2019sseld 3192 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( L `  G )  ->  v  e.  V
) )
21 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2221, 10, 6, 11lshplss 29793 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  ( LSubSp `  W ) )
231, 21lssel 15711 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  ( LSubSp `  W )  /\  v  e.  U )  ->  v  e.  V )
2422, 23sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  v  e.  V )
2524ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  U  ->  v  e.  V ) )
26 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
271, 14, 26, 2, 3ellkr 29901 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  (LFnl `  W )
)  ->  ( v  e.  ( L `  G
)  <->  ( v  e.  V  /\  ( G `
 v )  =  ( 0g `  D
) ) ) )
284, 18, 27syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( L `  G )  <-> 
( v  e.  V  /\  ( G `  v
)  =  ( 0g
`  D ) ) ) )
2928baibd 875 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
v  e.  ( L `
 G )  <->  ( G `  v )  =  ( 0g `  D ) ) )
304adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
3111adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  U  e.  H )
3212adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  Z  e.  V )
33 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  V )
3413adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  =  V )
351, 7, 8, 9, 10, 30, 31, 32, 33, 34, 14, 15, 16, 26, 17lshpkrlem1 29922 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
v  e.  U  <->  ( G `  v )  =  ( 0g `  D ) ) )
3629, 35bitr4d 247 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  (
v  e.  ( L `
 G )  <->  v  e.  U ) )
3736ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( v  e.  V  ->  ( v  e.  ( L `  G )  <-> 
v  e.  U ) ) )
3820, 25, 37pm5.21ndd 343 . 2  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( L `  G )  <-> 
v  e.  U ) )
3938eqrdv 2294 1  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   {csn 3653    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   iota_crio 6313   Basecbs 13164   +g cplusg 13224  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   0gc0g 13416   LSSumclsm 14961   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   LSpanclspn 15744   LVecclvec 15871  LSHypclsh 29787  LFnlclfn 29869  LKerclk 29897
This theorem is referenced by:  lshpkrex  29930  dochsnkr2  32285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872  df-lshyp 29789  df-lfl 29870  df-lkr 29898
  Copyright terms: Public domain W3C validator