Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrcl Unicode version

Theorem lshpkrcl 29599
Description: The set  G defined by hyperplane  U is a linear functional. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lshpkr.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lshpkr.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lshpkr.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lshpkr.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lshpkr.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lshpkr.u  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
lshpkr.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lshpkr.e  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
lshpkr.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lshpkr.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lshpkr.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lshpkr.g  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
lshpkr.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lshpkrcl  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Distinct variable groups:    x, k,
y,  .+    k, K, x    U, k, x, y    D, k    .x. , k, x, y   
k, Z, x, y   
x, V
Allowed substitution hints:    ph( x, y, k)    D( x, y)    .(+) ( x, y, k)    F( x, y, k)    G( x, y, k)    H( x, y, k)    K( y)    N( x, y, k)    V( y, k)    W( x, y, k)

Proof of Theorem lshpkrcl
Dummy variables  a 
l  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkr.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lshpkr.a . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 lshpkr.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 lshpkr.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
5 lshpkr.h . . . . 5  |-  H  =  (LSHyp `  W )
6 lshpkr.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
76adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
8 lshpkr.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
98adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V )  ->  U  e.  H )
10 lshpkr.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
1110adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V )  ->  Z  e.  V )
12 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V )  ->  a  e.  V )
13 lshpkr.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
1413adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V )  ->  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  =  V )
15 lshpkr.d . . . . 5  |-  D  =  (Scalar `  W )
16 lshpkr.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  D
)
17 lshpkr.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
181, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17lshpsmreu 29592 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V )  ->  E! k  e.  K  E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )
19 riotacl 6523 . . . 4  |-  ( E! k  e.  K  E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) )  ->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )  e.  K )
2018, 19syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V )  ->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )  e.  K )
21 lshpkr.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
22 eqeq1 2410 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
x  =  ( y 
.+  ( k  .x.  Z ) )  <->  a  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
2322rexbidv 2687 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  ( E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) )  <->  E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
2423riotabidv 6510 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )  =  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
2524cbvmptv 4260 . . . 4  |-  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )  =  ( a  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
2621, 25eqtri 2424 . . 3  |-  G  =  ( a  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
2720, 26fmptd 5852 . 2  |-  ( ph  ->  G : V --> K )
28 eqid 2404 . . . 4  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
291, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 10, 13, 15, 16, 17, 28, 21lshpkrlem6 29598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( l  e.  K  /\  u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  -> 
( G `  (
( l  .x.  u
)  .+  v )
)  =  ( ( l ( .r `  D ) ( G `
 u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) ) )
3029ralrimivvva 2759 . 2  |-  ( ph  ->  A. l  e.  K  A. u  e.  V  A. v  e.  V  ( G `  ( ( l  .x.  u ) 
.+  v ) )  =  ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) ) ( +g  `  D ) ( G `  v
) ) )
31 eqid 2404 . . . 4  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
32 eqid 2404 . . . 4  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
33 lshpkr.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
341, 2, 15, 17, 16, 31, 32, 33islfl 29543 . . 3  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( G  e.  F  <->  ( G : V --> K  /\  A. l  e.  K  A. u  e.  V  A. v  e.  V  ( G `  ( (
l  .x.  u )  .+  v ) )  =  ( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) ) ( +g  `  D ) ( G `
 v ) ) ) ) )
356, 34syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  F  <->  ( G : V --> K  /\  A. l  e.  K  A. u  e.  V  A. v  e.  V  ( G `  ( (
l  .x.  u )  .+  v ) )  =  ( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) ) ( +g  `  D ) ( G `
 v ) ) ) ) )
3627, 30, 35mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   E!wreu 2668   {csn 3774    e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   iota_crio 6501   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   0gc0g 13678   LSSumclsm 15223   LSpanclspn 16002   LVecclvec 16129  LSHypclsh 29458  LFnlclfn 29540
This theorem is referenced by:  lshpkr  29600  lshpkrex  29601  dochflcl  31958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-drng 15792  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lvec 16130  df-lshyp 29460  df-lfl 29541
  Copyright terms: Public domain W3C validator