Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrcl Structured version   Unicode version

Theorem lshpkrcl 29988
Description: The set  G defined by hyperplane  U is a linear functional. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lshpkr.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lshpkr.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lshpkr.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lshpkr.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lshpkr.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lshpkr.u  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
lshpkr.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lshpkr.e  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
lshpkr.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lshpkr.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lshpkr.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lshpkr.g  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
lshpkr.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
lshpkrcl  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Distinct variable groups:    x, k,
y,  .+    k, K, x    U, k, x, y    D, k    .x. , k, x, y   
k, Z, x, y   
x, V
Allowed substitution hints:    ph( x, y, k)    D( x, y)    .(+) ( x, y, k)    F( x, y, k)    G( x, y, k)    H( x, y, k)    K( y)    N( x, y, k)    V( y, k)    W( x, y, k)

Proof of Theorem lshpkrcl
Dummy variables  a 
l  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkr.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lshpkr.a . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 lshpkr.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 lshpkr.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
5 lshpkr.h . . . . 5  |-  H  =  (LSHyp `  W )
6 lshpkr.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
76adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
8 lshpkr.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
98adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V )  ->  U  e.  H )
10 lshpkr.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
1110adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V )  ->  Z  e.  V )
12 simpr 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V )  ->  a  e.  V )
13 lshpkr.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
1413adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V )  ->  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  =  V )
15 lshpkr.d . . . . 5  |-  D  =  (Scalar `  W )
16 lshpkr.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  D
)
17 lshpkr.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
181, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17lshpsmreu 29981 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V )  ->  E! k  e.  K  E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )
19 riotacl 6567 . . . 4  |-  ( E! k  e.  K  E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) )  ->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )  e.  K )
2018, 19syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  V )  ->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )  e.  K )
21 lshpkr.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
22 eqeq1 2444 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
x  =  ( y 
.+  ( k  .x.  Z ) )  <->  a  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
2322rexbidv 2728 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  ( E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) )  <->  E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
2423riotabidv 6554 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )  =  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
2524cbvmptv 4303 . . . 4  |-  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )  =  ( a  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
2621, 25eqtri 2458 . . 3  |-  G  =  ( a  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  a  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
2720, 26fmptd 5896 . 2  |-  ( ph  ->  G : V --> K )
28 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
291, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 10, 13, 15, 16, 17, 28, 21lshpkrlem6 29987 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( l  e.  K  /\  u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  -> 
( G `  (
( l  .x.  u
)  .+  v )
)  =  ( ( l ( .r `  D ) ( G `
 u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) ) )
3029ralrimivvva 2801 . 2  |-  ( ph  ->  A. l  e.  K  A. u  e.  V  A. v  e.  V  ( G `  ( ( l  .x.  u ) 
.+  v ) )  =  ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) ) ( +g  `  D ) ( G `  v
) ) )
31 eqid 2438 . . . 4  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
32 eqid 2438 . . . 4  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
33 lshpkr.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
341, 2, 15, 17, 16, 31, 32, 33islfl 29932 . . 3  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( G  e.  F  <->  ( G : V --> K  /\  A. l  e.  K  A. u  e.  V  A. v  e.  V  ( G `  ( (
l  .x.  u )  .+  v ) )  =  ( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) ) ( +g  `  D ) ( G `
 v ) ) ) ) )
356, 34syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  F  <->  ( G : V --> K  /\  A. l  e.  K  A. u  e.  V  A. v  e.  V  ( G `  ( (
l  .x.  u )  .+  v ) )  =  ( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) ) ( +g  `  D ) ( G `
 v ) ) ) ) )
3627, 30, 35mpbir2and 890 1  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   E!wreu 2709   {csn 3816    e. cmpt 4269   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   iota_crio 6545   Basecbs 13474   +g cplusg 13534   .rcmulr 13535  Scalarcsca 13537   .scvsca 13538   0gc0g 13728   LSSumclsm 15273   LSpanclspn 16052   LVecclvec 16179  LSHypclsh 29847  LFnlclfn 29929
This theorem is referenced by:  lshpkr  29989  lshpkrex  29990  dochflcl  32347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-cntz 15121  df-lsm 15275  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-drng 15842  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-lvec 16180  df-lshyp 29849  df-lfl 29930
  Copyright terms: Public domain W3C validator