Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrlem2 Unicode version

Theorem lshpkrlem2 29370
Description: Lemma for lshpkrex 29377. The value of tentative functional  G is a scalar. (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lshpkrlem.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lshpkrlem.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lshpkrlem.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lshpkrlem.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lshpkrlem.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lshpkrlem.u  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
lshpkrlem.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lshpkrlem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lshpkrlem.e  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
lshpkrlem.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lshpkrlem.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lshpkrlem.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lshpkrlem.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lshpkrlem.g  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem2  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  K )
Distinct variable groups:    x, k,
y,  .+    k, K, x    .0. , k    .x. , k, x, y    U, k, x, y    x, V    k, X, x, y   
k, Z, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, k)    D( x, y, k)    .(+) (
x, y, k)    G( x, y, k)    H( x, y, k)    K( y)    N( x, y, k)    V( y, k)    W( x, y, k)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem lshpkrlem2
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2 eqeq1 2364 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  =  ( y 
.+  ( k  .x.  Z ) )  <->  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
32rexbidv 2640 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) )  <->  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
43riotabidv 6393 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )  =  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
5 lshpkrlem.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
6 riotaex 6395 . . . 4  |-  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) )  e.  _V
74, 5, 6fvmpt 5685 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  ( G `  X )  =  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  ( k 
.x.  Z ) ) ) )
81, 7syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
9 lshpkrlem.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
10 lshpkrlem.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
11 lshpkrlem.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
12 lshpkrlem.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
13 lshpkrlem.h . . . 4  |-  H  =  (LSHyp `  W )
14 lshpkrlem.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
15 lshpkrlem.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
16 lshpkrlem.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
17 lshpkrlem.e . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
18 lshpkrlem.d . . . 4  |-  D  =  (Scalar `  W )
19 lshpkrlem.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  D
)
20 lshpkrlem.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
219, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 1, 17, 18, 19, 20lshpsmreu 29368 . . 3  |-  ( ph  ->  E! k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )
22 riotacl 6406 . . 3  |-  ( E! k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) )  ->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )  e.  K )
2321, 22syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )  e.  K )
248, 23eqeltrd 2432 1  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  e.  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710   E.wrex 2620   E!wreu 2621   {csn 3716    e. cmpt 4158   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   iota_crio 6384   Basecbs 13245   +g cplusg 13305  Scalarcsca 13308   .scvsca 13309   0gc0g 13499   LSSumclsm 15044   LSpanclspn 15827   LVecclvec 15954  LSHypclsh 29234
This theorem is referenced by:  lshpkrlem4  29372  lshpkrlem5  29373
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-tpos 6321  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-subg 14717  df-cntz 14892  df-lsm 15046  df-cmn 15190  df-abl 15191  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-oppr 15504  df-dvdsr 15522  df-unit 15523  df-invr 15553  df-drng 15613  df-lmod 15728  df-lss 15789  df-lsp 15828  df-lvec 15955  df-lshyp 29236
  Copyright terms: Public domain W3C validator