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Theorem lshpkrlem4 29925
Description: Lemma for lshpkrex 29930. Part of showing linearity of  G. (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lshpkrlem.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lshpkrlem.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lshpkrlem.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lshpkrlem.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lshpkrlem.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lshpkrlem.u  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
lshpkrlem.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lshpkrlem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lshpkrlem.e  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
lshpkrlem.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lshpkrlem.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lshpkrlem.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lshpkrlem.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lshpkrlem.g  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( ( ( l  .x.  r ) 
.+  s )  .+  ( ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) ) ( +g  `  D ) ( G `  v
) )  .x.  Z
) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y,  .+    k, K, x    .0. , k    .x. , k, x, y    U, k, x, y    x, V    k, X, x, y   
k, Z, x, y    .+ , l    G, l    K, l    U, l    X, l    Z, l, k, x, y    .x. , l    u, k, v, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, v, u, k, s, r, l)    D( x, y, v, u, k, s, r, l)    .+ ( v, u, s, r)    .(+) ( x, y, v, u, k, s, r, l)    .x. ( v, u, s, r)    U( v, u, s, r)    G( x, y, v, u, k, s, r)    H( x, y, v, u, k, s, r, l)    K( y, v, u, s, r)    N( x, y, v, u, k, s, r, l)    V( y, v, u, k, s, r, l)    W( x, y, v, u, k, s, r, l)    X( v, u, s, r)    .0. ( x, y, v, u, s, r, l)    Z( v, u, s, r)

Proof of Theorem lshpkrlem4
StepHypRef Expression
1 simp3l 983 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  u  =  ( r  .+  ( ( G `  u )  .x.  Z
) ) )
21oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  (
l  .x.  u )  =  ( l  .x.  ( r  .+  (
( G `  u
)  .x.  Z )
) ) )
3 simp3r 984 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) ) )
42, 3oveq12d 5892 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( ( l 
.x.  ( r  .+  ( ( G `  u )  .x.  Z
) ) )  .+  ( s  .+  (
( G `  v
)  .x.  Z )
) ) )
5 simpl1 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ph )
6 lshpkrlem.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
7 lveclmod 15875 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
85, 6, 73syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
9 simpl2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  l  e.  K )
10 simpr2 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  r  e.  V )
11 simpl3 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  u  e.  V )
12 lshpkrlem.v . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( Base `  W
)
13 lshpkrlem.a . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  W )
14 lshpkrlem.n . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( LSpan `  W )
15 lshpkrlem.p . . . . . . . . . 10  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
16 lshpkrlem.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  (LSHyp `  W )
176adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
18 lshpkrlem.u . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
1918adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  U  e.  H )
20 lshpkrlem.z . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
2120adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  Z  e.  V )
22 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  u  e.  V )
23 lshpkrlem.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
2423adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  =  V )
25 lshpkrlem.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  (Scalar `  W )
26 lshpkrlem.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( Base `  D
)
27 lshpkrlem.t . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( .s `  W )
28 lshpkrlem.o . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
29 lshpkrlem.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
3012, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29lshpkrlem2 29923 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  ( G `  u )  e.  K )
315, 11, 30syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( G `  u )  e.  K
)
325, 20syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  Z  e.  V )
3312, 25, 27, 26lmodvscl 15660 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( G `  u )  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  (
( G `  u
)  .x.  Z )  e.  V )
348, 31, 32, 33syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( ( G `  u )  .x.  Z )  e.  V
)
3512, 13, 25, 27, 26lmodvsdi 15666 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
l  e.  K  /\  r  e.  V  /\  ( ( G `  u )  .x.  Z
)  e.  V ) )  ->  ( l  .x.  ( r  .+  (
( G `  u
)  .x.  Z )
) )  =  ( ( l  .x.  r
)  .+  ( l  .x.  ( ( G `  u )  .x.  Z
) ) ) )
368, 9, 10, 34, 35syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( l  .x.  ( r  .+  (
( G `  u
)  .x.  Z )
) )  =  ( ( l  .x.  r
)  .+  ( l  .x.  ( ( G `  u )  .x.  Z
) ) ) )
37 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
3812, 25, 27, 26, 37lmodvsass 15670 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
l  e.  K  /\  ( G `  u )  e.  K  /\  Z  e.  V ) )  -> 
( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) )  .x.  Z
)  =  ( l 
.x.  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) ) )
398, 9, 31, 32, 38syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) ) 
.x.  Z )  =  ( l  .x.  (
( G `  u
)  .x.  Z )
) )
4039oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
l  .x.  r )  .+  ( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) )  .x.  Z
) )  =  ( ( l  .x.  r
)  .+  ( l  .x.  ( ( G `  u )  .x.  Z
) ) ) )
4136, 40eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( l  .x.  ( r  .+  (
( G `  u
)  .x.  Z )
) )  =  ( ( l  .x.  r
)  .+  ( (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) ) 
.x.  Z ) ) )
4241oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
l  .x.  ( r  .+  ( ( G `  u )  .x.  Z
) ) )  .+  ( s  .+  (
( G `  v
)  .x.  Z )
) )  =  ( ( ( l  .x.  r )  .+  (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) )  .x.  Z ) )  .+  ( s 
.+  ( ( G `
 v )  .x.  Z ) ) ) )
4312, 25, 27, 26lmodvscl 15660 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  K  /\  r  e.  V )  ->  (
l  .x.  r )  e.  V )
448, 9, 10, 43syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( l  .x.  r )  e.  V
)
4525, 26, 37lmodmcl 15655 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  K  /\  ( G `  u )  e.  K )  ->  (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) )  e.  K )
468, 9, 31, 45syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( l
( .r `  D
) ( G `  u ) )  e.  K )
4712, 25, 27, 26lmodvscl 15660 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) )  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) )  .x.  Z )  e.  V )
488, 46, 32, 47syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) ) 
.x.  Z )  e.  V )
49 simpr3 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  s  e.  V )
50 simpr1 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  v  e.  V )
516adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
5218adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  U  e.  H )
5320adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  Z  e.  V )
54 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  V )
5523adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  =  V )
5612, 13, 14, 15, 16, 51, 52, 53, 54, 55, 25, 26, 27, 28, 29lshpkrlem2 29923 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( G `  v )  e.  K )
575, 50, 56syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( G `  v )  e.  K
)
5812, 25, 27, 26lmodvscl 15660 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( G `  v )  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  (
( G `  v
)  .x.  Z )  e.  V )
598, 57, 32, 58syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( ( G `  v )  .x.  Z )  e.  V
)
6012, 13lmod4 15691 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( l  .x.  r
)  e.  V  /\  ( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) )  .x.  Z
)  e.  V )  /\  ( s  e.  V  /\  ( ( G `  v ) 
.x.  Z )  e.  V ) )  -> 
( ( ( l 
.x.  r )  .+  ( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) )  .x.  Z
) )  .+  (
s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( l  .x.  r ) 
.+  s )  .+  ( ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) )  .x.  Z )  .+  (
( G `  v
)  .x.  Z )
) ) )
618, 44, 48, 49, 59, 60syl122anc 1191 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
( l  .x.  r
)  .+  ( (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) ) 
.x.  Z ) ) 
.+  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) ) )  =  ( ( ( l 
.x.  r )  .+  s )  .+  (
( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) )  .x.  Z
)  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z ) ) ) )
62 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
6312, 13, 25, 27, 26, 62lmodvsdir 15668 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) )  e.  K  /\  ( G `  v )  e.  K  /\  Z  e.  V ) )  -> 
( ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) ) ( +g  `  D ) ( G `  v
) )  .x.  Z
)  =  ( ( ( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) )  .x.  Z ) 
.+  ( ( G `
 v )  .x.  Z ) ) )
648, 46, 57, 32, 63syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) )  .x.  Z )  =  ( ( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) )  .x.  Z
)  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z ) ) )
6564oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
( l  .x.  r
)  .+  s )  .+  ( ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) ) ( +g  `  D ) ( G `  v
) )  .x.  Z
) )  =  ( ( ( l  .x.  r )  .+  s
)  .+  ( (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) )  .x.  Z ) 
.+  ( ( G `
 v )  .x.  Z ) ) ) )
6661, 65eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
( l  .x.  r
)  .+  ( (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) ) 
.x.  Z ) ) 
.+  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) ) )  =  ( ( ( l 
.x.  r )  .+  s )  .+  (
( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) ) ( +g  `  D ) ( G `
 v ) ) 
.x.  Z ) ) )
6742, 66eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
l  .x.  ( r  .+  ( ( G `  u )  .x.  Z
) ) )  .+  ( s  .+  (
( G `  v
)  .x.  Z )
) )  =  ( ( ( l  .x.  r )  .+  s
)  .+  ( (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) )  .x.  Z ) ) )
68673adant3 975 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  (
( l  .x.  (
r  .+  ( ( G `  u )  .x.  Z ) ) ) 
.+  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) ) )  =  ( ( ( l 
.x.  r )  .+  s )  .+  (
( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) ) ( +g  `  D ) ( G `
 v ) ) 
.x.  Z ) ) )
694, 68eqtrd 2328 1  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( ( ( l  .x.  r ) 
.+  s )  .+  ( ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) ) ( +g  `  D ) ( G `  v
) )  .x.  Z
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   {csn 3653    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   iota_crio 6313   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   0gc0g 13416   LSSumclsm 14961   LModclmod 15643   LSpanclspn 15744   LVecclvec 15871  LSHypclsh 29787
This theorem is referenced by:  lshpkrlem5  29926
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872  df-lshyp 29789
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