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Theorem lshpkrlem4 29838
Description: Lemma for lshpkrex 29843. Part of showing linearity of  G. (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lshpkrlem.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lshpkrlem.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lshpkrlem.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lshpkrlem.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lshpkrlem.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lshpkrlem.u  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
lshpkrlem.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lshpkrlem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lshpkrlem.e  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
lshpkrlem.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lshpkrlem.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lshpkrlem.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lshpkrlem.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lshpkrlem.g  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( ( ( l  .x.  r ) 
.+  s )  .+  ( ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) ) ( +g  `  D ) ( G `  v
) )  .x.  Z
) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y,  .+    k, K, x    .0. , k    .x. , k, x, y    U, k, x, y    x, V    k, X, x, y   
k, Z, x, y    .+ , l    G, l    K, l    U, l    X, l    Z, l, k, x, y    .x. , l    u, k, v, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, v, u, k, s, r, l)    D( x, y, v, u, k, s, r, l)    .+ ( v, u, s, r)    .(+) ( x, y, v, u, k, s, r, l)    .x. ( v, u, s, r)    U( v, u, s, r)    G( x, y, v, u, k, s, r)    H( x, y, v, u, k, s, r, l)    K( y, v, u, s, r)    N( x, y, v, u, k, s, r, l)    V( y, v, u, k, s, r, l)    W( x, y, v, u, k, s, r, l)    X( v, u, s, r)    .0. ( x, y, v, u, s, r, l)    Z( v, u, s, r)

Proof of Theorem lshpkrlem4
StepHypRef Expression
1 simp3l 985 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  u  =  ( r  .+  ( ( G `  u )  .x.  Z
) ) )
21oveq2d 6089 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  (
l  .x.  u )  =  ( l  .x.  ( r  .+  (
( G `  u
)  .x.  Z )
) ) )
3 simp3r 986 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) ) )
42, 3oveq12d 6091 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( ( l 
.x.  ( r  .+  ( ( G `  u )  .x.  Z
) ) )  .+  ( s  .+  (
( G `  v
)  .x.  Z )
) ) )
5 simpl1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ph )
6 lshpkrlem.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
7 lveclmod 16170 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
85, 6, 73syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  W  e.  LMod )
9 simpl2 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  l  e.  K )
10 simpr2 964 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  r  e.  V )
11 simpl3 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  u  e.  V )
12 lshpkrlem.v . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( Base `  W
)
13 lshpkrlem.a . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  W )
14 lshpkrlem.n . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( LSpan `  W )
15 lshpkrlem.p . . . . . . . . . 10  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
16 lshpkrlem.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  (LSHyp `  W )
176adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
18 lshpkrlem.u . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
1918adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  U  e.  H )
20 lshpkrlem.z . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
2120adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  Z  e.  V )
22 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  u  e.  V )
23 lshpkrlem.e . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
2423adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  =  V )
25 lshpkrlem.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  (Scalar `  W )
26 lshpkrlem.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( Base `  D
)
27 lshpkrlem.t . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( .s `  W )
28 lshpkrlem.o . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
29 lshpkrlem.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
3012, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29lshpkrlem2 29836 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  ( G `  u )  e.  K )
315, 11, 30syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( G `  u )  e.  K
)
325, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  Z  e.  V )
3312, 25, 27, 26lmodvscl 15959 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( G `  u )  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  (
( G `  u
)  .x.  Z )  e.  V )
348, 31, 32, 33syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( ( G `  u )  .x.  Z )  e.  V
)
3512, 13, 25, 27, 26lmodvsdi 15965 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
l  e.  K  /\  r  e.  V  /\  ( ( G `  u )  .x.  Z
)  e.  V ) )  ->  ( l  .x.  ( r  .+  (
( G `  u
)  .x.  Z )
) )  =  ( ( l  .x.  r
)  .+  ( l  .x.  ( ( G `  u )  .x.  Z
) ) ) )
368, 9, 10, 34, 35syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( l  .x.  ( r  .+  (
( G `  u
)  .x.  Z )
) )  =  ( ( l  .x.  r
)  .+  ( l  .x.  ( ( G `  u )  .x.  Z
) ) ) )
37 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
3812, 25, 27, 26, 37lmodvsass 15967 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
l  e.  K  /\  ( G `  u )  e.  K  /\  Z  e.  V ) )  -> 
( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) )  .x.  Z
)  =  ( l 
.x.  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) ) )
398, 9, 31, 32, 38syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) ) 
.x.  Z )  =  ( l  .x.  (
( G `  u
)  .x.  Z )
) )
4039oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
l  .x.  r )  .+  ( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) )  .x.  Z
) )  =  ( ( l  .x.  r
)  .+  ( l  .x.  ( ( G `  u )  .x.  Z
) ) ) )
4136, 40eqtr4d 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( l  .x.  ( r  .+  (
( G `  u
)  .x.  Z )
) )  =  ( ( l  .x.  r
)  .+  ( (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) ) 
.x.  Z ) ) )
4241oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
l  .x.  ( r  .+  ( ( G `  u )  .x.  Z
) ) )  .+  ( s  .+  (
( G `  v
)  .x.  Z )
) )  =  ( ( ( l  .x.  r )  .+  (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) )  .x.  Z ) )  .+  ( s 
.+  ( ( G `
 v )  .x.  Z ) ) ) )
4312, 25, 27, 26lmodvscl 15959 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  K  /\  r  e.  V )  ->  (
l  .x.  r )  e.  V )
448, 9, 10, 43syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( l  .x.  r )  e.  V
)
4525, 26, 37lmodmcl 15954 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  K  /\  ( G `  u )  e.  K )  ->  (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) )  e.  K )
468, 9, 31, 45syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( l
( .r `  D
) ( G `  u ) )  e.  K )
4712, 25, 27, 26lmodvscl 15959 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) )  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) )  .x.  Z )  e.  V )
488, 46, 32, 47syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) ) 
.x.  Z )  e.  V )
49 simpr3 965 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  s  e.  V )
50 simpr1 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  v  e.  V )
516adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
5218adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  U  e.  H )
5320adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  Z  e.  V )
54 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  V )
5523adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  =  V )
5612, 13, 14, 15, 16, 51, 52, 53, 54, 55, 25, 26, 27, 28, 29lshpkrlem2 29836 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( G `  v )  e.  K )
575, 50, 56syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( G `  v )  e.  K
)
5812, 25, 27, 26lmodvscl 15959 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( G `  v )  e.  K  /\  Z  e.  V )  ->  (
( G `  v
)  .x.  Z )  e.  V )
598, 57, 32, 58syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( ( G `  v )  .x.  Z )  e.  V
)
6012, 13lmod4 15986 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( l  .x.  r
)  e.  V  /\  ( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) )  .x.  Z
)  e.  V )  /\  ( s  e.  V  /\  ( ( G `  v ) 
.x.  Z )  e.  V ) )  -> 
( ( ( l 
.x.  r )  .+  ( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) )  .x.  Z
) )  .+  (
s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( l  .x.  r ) 
.+  s )  .+  ( ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) )  .x.  Z )  .+  (
( G `  v
)  .x.  Z )
) ) )
618, 44, 48, 49, 59, 60syl122anc 1193 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
( l  .x.  r
)  .+  ( (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) ) 
.x.  Z ) ) 
.+  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) ) )  =  ( ( ( l 
.x.  r )  .+  s )  .+  (
( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) )  .x.  Z
)  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z ) ) ) )
62 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
6312, 13, 25, 27, 26, 62lmodvsdir 15966 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) )  e.  K  /\  ( G `  v )  e.  K  /\  Z  e.  V ) )  -> 
( ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) ) ( +g  `  D ) ( G `  v
) )  .x.  Z
)  =  ( ( ( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) )  .x.  Z ) 
.+  ( ( G `
 v )  .x.  Z ) ) )
648, 46, 57, 32, 63syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) )  .x.  Z )  =  ( ( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) )  .x.  Z
)  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z ) ) )
6564oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
( l  .x.  r
)  .+  s )  .+  ( ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) ) ( +g  `  D ) ( G `  v
) )  .x.  Z
) )  =  ( ( ( l  .x.  r )  .+  s
)  .+  ( (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) )  .x.  Z ) 
.+  ( ( G `
 v )  .x.  Z ) ) ) )
6661, 65eqtr4d 2470 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
( l  .x.  r
)  .+  ( (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) ) 
.x.  Z ) ) 
.+  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) ) )  =  ( ( ( l 
.x.  r )  .+  s )  .+  (
( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) ) ( +g  `  D ) ( G `
 v ) ) 
.x.  Z ) ) )
6742, 66eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )
)  ->  ( (
l  .x.  ( r  .+  ( ( G `  u )  .x.  Z
) ) )  .+  ( s  .+  (
( G `  v
)  .x.  Z )
) )  =  ( ( ( l  .x.  r )  .+  s
)  .+  ( (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) )  .x.  Z ) ) )
68673adant3 977 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  (
( l  .x.  (
r  .+  ( ( G `  u )  .x.  Z ) ) ) 
.+  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) ) )  =  ( ( ( l 
.x.  r )  .+  s )  .+  (
( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) ) ( +g  `  D ) ( G `
 v ) ) 
.x.  Z ) ) )
694, 68eqtrd 2467 1  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( ( ( l  .x.  r ) 
.+  s )  .+  ( ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) ) ( +g  `  D ) ( G `  v
) )  .x.  Z
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   {csn 3806    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   iota_crio 6534   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   0gc0g 13715   LSSumclsm 15260   LModclmod 15942   LSpanclspn 16039   LVecclvec 16166  LSHypclsh 29700
This theorem is referenced by:  lshpkrlem5  29839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-lsm 15262  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-lvec 16167  df-lshyp 29702
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