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Theorem lshpkrlem5 29974
Description: Lemma for lshpkrex 29978. Part of showing linearity of  G. (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lshpkrlem.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lshpkrlem.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lshpkrlem.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lshpkrlem.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lshpkrlem.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lshpkrlem.u  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
lshpkrlem.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lshpkrlem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lshpkrlem.e  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
lshpkrlem.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lshpkrlem.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lshpkrlem.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lshpkrlem.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lshpkrlem.g  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  =  ( ( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y,  .+    k, K, x    .0. , k    .x. , k, x, y    U, k, x, y    x, V    k, X, x, y   
k, Z, x, y   
z, l,  .+    G, l, z    K, l    U, l, z    X, l, z    Z, l, z, k, x, y    .x. , l, z    u, k, v, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, v, u, k, s, r, l)    D( x, y, z, v, u, k, s, r, l)    .+ ( v, u, s, r)    .(+) (
x, y, z, v, u, k, s, r, l)    .x. ( v, u, s, r)    U( v, u, s, r)    G( x, y, v, u, k, s, r)    H( x, y, z, v, u, k, s, r, l)    K( y, z, v, u, s, r)    N( x, y, z, v, u, k, s, r, l)    V( y, z, v, u, k, s, r, l)    W( x, y, z, v, u, k, s, r, l)    X( v, u, s, r)    .0. ( x, y, z, v, u, s, r, l)    Z( v, u, s, r)

Proof of Theorem lshpkrlem5
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.a . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  W )
2 eqid 2438 . . 3  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
3 eqid 2438 . . 3  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
4 simp11 988 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ph )
5 lshpkrlem.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  W  e.  LVec )
7 lveclmod 16180 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  W  e.  LMod )
9 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
109lsssssubg 16036 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
118, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( LSubSp `  W
)  C_  (SubGrp `  W
) )
12 lshpkrlem.h . . . . . 6  |-  H  =  (LSHyp `  W )
135, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
14 lshpkrlem.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
159, 12, 13, 14lshplss 29841 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  ( LSubSp `  W ) )
164, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  U  e.  (
LSubSp `  W ) )
1711, 16sseldd 3351 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
18 lshpkrlem.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
194, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  Z  e.  V
)
20 lshpkrlem.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
21 lshpkrlem.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
2220, 9, 21lspsncl 16055 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
238, 19, 22syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( N `  { Z } )  e.  ( LSubSp `  W )
)
2411, 23sseldd 3351 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W )
)
25 lshpkrlem.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
26 lshpkrlem.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
2720, 2, 21, 25, 12, 5, 14, 18, 26lshpdisj 29847 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  ( N `  { Z } ) )  =  { ( 0g `  W ) } )
284, 27syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( U  i^i  ( N `  { Z } ) )  =  { ( 0g `  W ) } )
29 lmodabl 15993 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
308, 29syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  W  e.  Abel )
313, 30, 17, 24ablcntzd 15474 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  U  C_  (
(Cntz `  W ) `  ( N `  { Z } ) ) )
32 simp23r 1080 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  z  e.  U
)
33 simp12 989 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  l  e.  K
)
34 simp22 992 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  r  e.  U
)
35 lshpkrlem.d . . . . . 6  |-  D  =  (Scalar `  W )
36 lshpkrlem.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  W )
37 lshpkrlem.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  D
)
3835, 36, 37, 9lssvscl 16033 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  ( LSubSp `  W ) )  /\  ( l  e.  K  /\  r  e.  U
) )  ->  (
l  .x.  r )  e.  U )
398, 16, 33, 34, 38syl22anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( l  .x.  r )  e.  U
)
40 simp23l 1079 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  s  e.  U
)
411, 9lssvacl 16032 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  ( LSubSp `  W ) )  /\  ( ( l  .x.  r )  e.  U  /\  s  e.  U
) )  ->  (
( l  .x.  r
)  .+  s )  e.  U )
428, 16, 39, 40, 41syl22anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( ( l 
.x.  r )  .+  s )  e.  U
)
43 simp13 990 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  u  e.  V
)
4420, 35, 36, 37lmodvscl 15969 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  ->  (
l  .x.  u )  e.  V )
458, 33, 43, 44syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( l  .x.  u )  e.  V
)
46 simp21 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  v  e.  V
)
4720, 1lmodvacl 15966 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
l  .x.  u )  e.  V  /\  v  e.  V )  ->  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  e.  V )
488, 45, 46, 47syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( ( l 
.x.  u )  .+  v )  e.  V
)
495adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
l  .x.  u )  .+  v )  e.  V
)  ->  W  e.  LVec )
5014adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
l  .x.  u )  .+  v )  e.  V
)  ->  U  e.  H )
5118adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
l  .x.  u )  .+  v )  e.  V
)  ->  Z  e.  V )
52 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
l  .x.  u )  .+  v )  e.  V
)  ->  ( (
l  .x.  u )  .+  v )  e.  V
)
5326adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
l  .x.  u )  .+  v )  e.  V
)  ->  ( U  .(+) 
( N `  { Z } ) )  =  V )
54 lshpkrlem.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
55 lshpkrlem.g . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  V  |->  ( iota_ k  e.  K E. y  e.  U  x  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) ) )
5620, 1, 21, 25, 12, 49, 50, 51, 52, 53, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem2 29971 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
l  .x.  u )  .+  v )  e.  V
)  ->  ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  e.  K
)
574, 48, 56syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  e.  K
)
5820, 36, 35, 37, 21, 8, 57, 19lspsneli 16079 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( ( G `
 ( ( l 
.x.  u )  .+  v ) )  .x.  Z )  e.  ( N `  { Z } ) )
595adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
6014adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  U  e.  H )
6118adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  Z  e.  V )
62 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  u  e.  V )
6326adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  =  V )
6420, 1, 21, 25, 12, 59, 60, 61, 62, 63, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem2 29971 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  V )  ->  ( G `  u )  e.  K )
654, 43, 64syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( G `  u )  e.  K
)
66 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
6735, 37, 66lmodmcl 15964 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  K  /\  ( G `  u )  e.  K )  ->  (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) )  e.  K )
688, 33, 65, 67syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) )  e.  K
)
695adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  W  e.  LVec )
7014adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  U  e.  H )
7118adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  Z  e.  V )
72 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  v  e.  V )
7326adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  =  V )
7420, 1, 21, 25, 12, 69, 70, 71, 72, 73, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem2 29971 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  V )  ->  ( G `  v )  e.  K )
754, 46, 74syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( G `  v )  e.  K
)
76 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( +g  `  D )  =  ( +g  `  D )
7735, 37, 76lmodacl 15963 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
l ( .r `  D ) ( G `
 u ) )  e.  K  /\  ( G `  v )  e.  K )  ->  (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) )  e.  K )
788, 68, 75, 77syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) ) ( +g  `  D ) ( G `  v
) )  e.  K
)
7920, 36, 35, 37, 21, 8, 78, 19lspsneli 16079 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( ( ( l ( .r `  D ) ( G `
 u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) )  .x.  Z )  e.  ( N `  { Z } ) )
80 simp33 996 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( ( l 
.x.  u )  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u ) 
.+  v ) ) 
.x.  Z ) ) )
81 simp1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )
)
8220, 9lssel 16016 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  ( LSubSp `  W )  /\  r  e.  U )  ->  r  e.  V )
8316, 34, 82syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  r  e.  V
)
8420, 9lssel 16016 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  ( LSubSp `  W )  /\  s  e.  U )  ->  s  e.  V )
8516, 40, 84syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  s  e.  V
)
86 simp31 994 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) ) )
87 simp32 995 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) )
88 lshpkrlem.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
8920, 1, 21, 25, 12, 5, 14, 18, 88, 26, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem4 29973 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  V  /\  s  e.  V )  /\  ( u  =  ( r  .+  ( ( G `  u ) 
.x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v ) 
.x.  Z ) ) ) )  ->  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( ( ( l  .x.  r ) 
.+  s )  .+  ( ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) ) ( +g  `  D ) ( G `  v
) )  .x.  Z
) ) )
9081, 46, 83, 85, 86, 87, 89syl132anc 1203 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( ( l 
.x.  u )  .+  v )  =  ( ( ( l  .x.  r )  .+  s
)  .+  ( (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) )  .x.  Z ) ) )
9180, 90eqtr3d 2472 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) )  =  ( ( ( l  .x.  r )  .+  s
)  .+  ( (
( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) )  .x.  Z ) ) )
921, 2, 3, 17, 24, 28, 31, 32, 42, 58, 79, 91subgdisj2 15326 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( ( G `
 ( ( l 
.x.  u )  .+  v ) )  .x.  Z )  =  ( ( ( l ( .r `  D ) ( G `  u
) ) ( +g  `  D ) ( G `
 v ) ) 
.x.  Z ) )
9320, 21, 25, 12, 2, 13, 14, 18, 26lshpne0 29846 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  =/=  ( 0g
`  W ) )
944, 93syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  Z  =/=  ( 0g `  W ) )
9520, 36, 35, 37, 2, 6, 57, 78, 19, 94lvecvscan2 16186 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( ( ( G `  ( ( l  .x.  u ) 
.+  v ) ) 
.x.  Z )  =  ( ( ( l ( .r `  D
) ( G `  u ) ) ( +g  `  D ) ( G `  v
) )  .x.  Z
)  <->  ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  =  ( ( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) ) ) )
9692, 95mpbid 203 1  |-  ( ( ( ph  /\  l  e.  K  /\  u  e.  V )  /\  (
v  e.  V  /\  r  e.  U  /\  ( s  e.  U  /\  z  e.  U
) )  /\  (
u  =  ( r 
.+  ( ( G `
 u )  .x.  Z ) )  /\  v  =  ( s  .+  ( ( G `  v )  .x.  Z
) )  /\  (
( l  .x.  u
)  .+  v )  =  ( z  .+  ( ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  .x.  Z
) ) ) )  ->  ( G `  ( ( l  .x.  u )  .+  v
) )  =  ( ( l ( .r
`  D ) ( G `  u ) ) ( +g  `  D
) ( G `  v ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   E.wrex 2708    i^i cin 3321    C_ wss 3322   {csn 3816    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   iota_crio 6544   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   .rcmulr 13532  Scalarcsca 13534   .scvsca 13535   0gc0g 13725  SubGrpcsubg 14940  Cntzccntz 15116   LSSumclsm 15270   Abelcabel 15415   LModclmod 15952   LSubSpclss 16010   LSpanclspn 16049   LVecclvec 16176  LSHypclsh 29835
This theorem is referenced by:  lshpkrlem6  29975
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-lsm 15272  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lvec 16177  df-lshyp 29837
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