Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnelb Unicode version

Theorem lshpnelb 29796
 Description: The subspace sum of a hyperplane and the span of an element equals the vector space iff the element is not in the hyperplane. (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnelb.v
lshpnelb.n
lshpnelb.p
lshpnelb.h LSHyp
lshpnelb.w
lshpnelb.u
lshpnelb.x
Assertion
Ref Expression
lshpnelb

Proof of Theorem lshpnelb
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpnelb.u . . . . . 6
2 lshpnelb.v . . . . . . 7
3 lshpnelb.n . . . . . . 7
4 eqid 2296 . . . . . . 7
5 lshpnelb.p . . . . . . 7
6 lshpnelb.h . . . . . . 7 LSHyp
7 lshpnelb.w . . . . . . . 8
8 lveclmod 15875 . . . . . . . 8
97, 8syl 15 . . . . . . 7
102, 3, 4, 5, 6, 9islshpsm 29792 . . . . . 6
111, 10mpbid 201 . . . . 5
1211simp3d 969 . . . 4
1312adantr 451 . . 3
14 simp1l 979 . . . . . 6
15 simp2 956 . . . . . 6
164lsssssubg 15731 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
179, 16syl 15 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
18 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12
1918, 6, 9, 1lshplss 29793 . . . . . . . . . . 11
2017, 19sseldd 3194 . . . . . . . . . 10 SubGrp
21 lshpnelb.x . . . . . . . . . . . 12
222, 4, 3lspsncl 15750 . . . . . . . . . . . 12
239, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
2417, 23sseldd 3194 . . . . . . . . . 10 SubGrp
255lsmub1 14983 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
2620, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . . 9
2726adantr 451 . . . . . . . 8
285lsmub2 14984 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp
2920, 24, 28syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
302, 3lspsnid 15766 . . . . . . . . . . . 12
319, 21, 30syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
3229, 31sseldd 3194 . . . . . . . . . 10
33 nelne1 2548 . . . . . . . . . 10
3432, 33sylan 457 . . . . . . . . 9
3534necomd 2542 . . . . . . . 8
36 df-pss 3181 . . . . . . . 8
3727, 35, 36sylanbrc 645 . . . . . . 7
38373ad2ant1 976 . . . . . 6
392, 18, 3lspsncl 15750 . . . . . . . . . . . . 13
409, 21, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
414, 5lsmcl 15852 . . . . . . . . . . . 12
429, 19, 40, 41syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
432, 4lssss 15710 . . . . . . . . . . 11
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . 10
4544adantr 451 . . . . . . . . 9
46 simpr 447 . . . . . . . . 9
4745, 46sseqtr4d 3228 . . . . . . . 8
4847adantlr 695 . . . . . . 7
49483adant2 974 . . . . . 6
507adantr 451 . . . . . . 7
514, 6, 9, 1lshplss 29793 . . . . . . . 8
5251adantr 451 . . . . . . 7
539, 19, 23, 41syl3anc 1182 . . . . . . . 8
5453adantr 451 . . . . . . 7
55 simpr 447 . . . . . . 7
562, 4, 3, 5, 50, 52, 54, 55lsmcv 15910 . . . . . 6
5714, 15, 38, 49, 56syl211anc 1188 . . . . 5
58 simp3 957 . . . . 5
5957, 58eqtrd 2328 . . . 4
6059rexlimdv3a 2682 . . 3
6113, 60mpd 14 . 2
629adantr 451 . . 3
631adantr 451 . . 3
6421adantr 451 . . 3
65 simpr 447 . . 3
662, 3, 5, 6, 62, 63, 64, 65lshpnel 29795 . 2
6761, 66impbida 805 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wrex 2557   wss 3165   wpss 3166  csn 3653  cfv 5271  (class class class)co 5874  cbs 13164  SubGrpcsubg 14631  clsm 14961  clmod 15643  clss 15705  clspn 15744  clvec 15871  LSHypclsh 29787 This theorem is referenced by:  lshpnel2N  29797  l1cvpat  29866  dochexmidat  32271 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872  df-lshyp 29789
 Copyright terms: Public domain W3C validator