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Theorem lshpsmreu 30005
Description: Lemma for lshpkrex 30014. Show uniqueness of ring multiplier  k when a vector  X is broken down into components, one in a hyperplane and the other outside of it . TODO: do we need the cbvrexv 2939 for 
a to  c? (Contributed by NM, 4-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpsmreu.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lshpsmreu.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lshpsmreu.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lshpsmreu.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lshpsmreu.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lshpsmreu.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lshpsmreu.u  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
lshpsmreu.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
lshpsmreu.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lshpsmreu.e  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
lshpsmreu.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lshpsmreu.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lshpsmreu.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Assertion
Ref Expression
lshpsmreu  |-  ( ph  ->  E! k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )
Distinct variable groups:    y, k,  .+    k, K    .x. , k, y    U, k, y    k, X, y    k, Z, y
Allowed substitution hints:    ph( y, k)    D( y, k)    .(+) ( y, k)    H( y, k)    K( y)    N( y, k)    V( y, k)    W( y, k)

Proof of Theorem lshpsmreu
Dummy variables  a 
b  c  l  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpsmreu.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2 lshpsmreu.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  =  V )
31, 2eleqtrrd 2519 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( U 
.(+)  ( N `  { Z } ) ) )
4 lshpsmreu.w . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 lveclmod 16209 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
64, 5syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 eqid 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
87lsssssubg 16065 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
96, 8syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
10 lshpsmreu.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  (LSHyp `  W )
11 lshpsmreu.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
127, 10, 6, 11lshplss 29877 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  ( LSubSp `  W ) )
139, 12sseldd 3335 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
14 lshpsmreu.z . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
15 lshpsmreu.v . . . . . . . . . 10  |-  V  =  ( Base `  W
)
16 lshpsmreu.n . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1715, 7, 16lspsncl 16084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
186, 14, 17syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
199, 18sseldd 3335 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )
20 lshpsmreu.a . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  W )
21 lshpsmreu.p . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
2220, 21lsmelval 15314 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( X  e.  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  <->  E. c  e.  U  E. z  e.  ( N `  { Z } ) X  =  ( c  .+  z
) ) )
2313, 19, 22syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  <->  E. c  e.  U  E. z  e.  ( N `  { Z } ) X  =  ( c  .+  z
) ) )
243, 23mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. c  e.  U  E. z  e.  ( N `  { Z } ) X  =  ( c  .+  z
) )
25 df-rex 2717 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  ( N `
 { Z }
) X  =  ( c  .+  z )  <->  E. z ( z  e.  ( N `  { Z } )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) )
26 lshpsmreu.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  (Scalar `  W )
27 lshpsmreu.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( Base `  D
)
28 lshpsmreu.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  .x.  =  ( .s `  W )
2926, 27, 15, 28, 16lspsnel 16110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  (
z  e.  ( N `
 { Z }
)  <->  E. b  e.  K  z  =  ( b  .x.  Z ) ) )
306, 14, 29syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( N `  { Z } )  <->  E. b  e.  K  z  =  ( b  .x.  Z
) ) )
3130anbi1d 687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( N `  { Z } )  /\  X  =  ( c  .+  z ) )  <->  ( E. b  e.  K  z  =  ( b  .x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) ) )
32 r19.41v 2867 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b  e.  K  ( z  =  ( b 
.x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) )  <->  ( E. b  e.  K  z  =  ( b  .x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) )
3331, 32syl6bbr 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( N `  { Z } )  /\  X  =  ( c  .+  z ) )  <->  E. b  e.  K  ( z  =  ( b  .x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) ) )
3433exbidv 1637 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. z ( z  e.  ( N `
 { Z }
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  E. z E. b  e.  K  ( z  =  ( b  .x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) ) )
35 rexcom4 2981 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b  e.  K  E. z ( z  =  ( b  .x.  Z
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  E. z E. b  e.  K  ( z  =  ( b  .x.  Z )  /\  X  =  ( c  .+  z ) ) )
36 ovex 6135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b 
.x.  Z )  e. 
_V
37 oveq2 6118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( b  .x.  Z )  ->  (
c  .+  z )  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
3837eqeq2d 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( b  .x.  Z )  ->  ( X  =  ( c  .+  z )  <->  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
3936, 38ceqsexv 2997 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( z  =  ( b  .x.  Z
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4039rexbii 2736 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b  e.  K  E. z ( z  =  ( b  .x.  Z
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4135, 40bitr3i 244 . . . . . . . 8  |-  ( E. z E. b  e.  K  ( z  =  ( b  .x.  Z
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4234, 41syl6bb 254 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z ( z  e.  ( N `
 { Z }
)  /\  X  =  ( c  .+  z
) )  <->  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
4325, 42syl5bb 250 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( N `  { Z } ) X  =  ( c  .+  z
)  <->  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) ) )
4443rexbidv 2732 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  U  E. z  e.  ( N `  { Z } ) X  =  ( c  .+  z
)  <->  E. c  e.  U  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) ) )
4524, 44mpbid 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. c  e.  U  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
46 rexcom 2875 . . . 4  |-  ( E. c  e.  U  E. b  e.  K  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E. b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4745, 46sylib 190 . . 3  |-  ( ph  ->  E. b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
48 oveq1 6117 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  a  ->  (
c  .+  ( b  .x.  Z ) )  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4948eqeq2d 2453 . . . . . . 7  |-  ( c  =  a  ->  ( X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
5049cbvrexv 2939 . . . . . 6  |-  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E. a  e.  U  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )
51 eqid 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
52 eqid 2442 . . . . . . . . . 10  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
53 simp11l 1069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  ph )
5453, 13syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)
5553, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )
5615, 51, 16, 21, 10, 4, 11, 14, 2lshpdisj 29883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  ( N `  { Z } ) )  =  { ( 0g `  W ) } )
5753, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  ( U  i^i  ( N `  { Z } ) )  =  { ( 0g
`  W ) } )
5853, 4syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  W  e.  LVec )
5958, 5syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  W  e.  LMod )
60 lmodabl 16022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  W  e.  Abel )
6252, 61, 54, 55ablcntzd 15503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  U  C_  ( (Cntz `  W
) `  ( N `  { Z } ) ) )
63 simp12 989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  a  e.  U )
64 simp2 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  c  e.  U )
65 simp1rl 1023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  K  /\  l  e.  K )
)  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  ( b 
.x.  Z ) ) )  ->  b  e.  K )
66653ad2ant1 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  b  e.  K )
6753, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  Z  e.  V )
6815, 28, 26, 27, 16, 59, 66, 67lspsneli 16108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  (
b  .x.  Z )  e.  ( N `  { Z } ) )
69 simp1rr 1024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  K  /\  l  e.  K )
)  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  ( b 
.x.  Z ) ) )  ->  l  e.  K )
70693ad2ant1 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  l  e.  K )
7115, 28, 26, 27, 16, 59, 70, 67lspsneli 16108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  (
l  .x.  Z )  e.  ( N `  { Z } ) )
72 simp13 990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  X  =  ( a  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
73 simp3 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  X  =  ( c  .+  ( l  .x.  Z
) ) )
7472, 73eqtr3d 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  (
a  .+  ( b  .x.  Z ) )  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )
7520, 51, 52, 54, 55, 57, 62, 63, 64, 68, 71, 74subgdisj2 15355 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  (
b  .x.  Z )  =  ( l  .x.  Z ) )
7653, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  U  e.  H )
7753, 2syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  ( U  .(+)  ( N `  { Z } ) )  =  V )
7815, 16, 21, 10, 51, 59, 76, 67, 77lshpne0 29882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  Z  =/=  ( 0g `  W
) )
7915, 28, 26, 27, 51, 58, 66, 70, 67, 78lvecvscan2 16215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  (
( b  .x.  Z
)  =  ( l 
.x.  Z )  <->  b  =  l ) )
8075, 79mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K
) )  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  (
b  .x.  Z )
) )  /\  c  e.  U  /\  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  b  =  l )
8180rexlimdv3a 2838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  e.  K  /\  l  e.  K )
)  /\  a  e.  U  /\  X  =  ( a  .+  ( b 
.x.  Z ) ) )  ->  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( l  .x.  Z
) )  ->  b  =  l ) )
8281rexlimdv3a 2838 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K ) )  -> 
( E. a  e.  U  X  =  ( a  .+  ( b 
.x.  Z ) )  ->  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
)  ->  b  =  l ) ) )
8350, 82syl5bi 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K ) )  -> 
( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b 
.x.  Z ) )  ->  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
)  ->  b  =  l ) ) )
8483imp3a 422 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( b  e.  K  /\  l  e.  K ) )  -> 
( ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
)  /\  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  b  =  l ) )
8584ralrimivva 2804 . . 3  |-  ( ph  ->  A. b  e.  K  A. l  e.  K  ( ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
b  .x.  Z )
)  /\  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )  ->  b  =  l ) )
86 oveq1 6117 . . . . . . 7  |-  ( b  =  l  ->  (
b  .x.  Z )  =  ( l  .x.  Z ) )
8786oveq2d 6126 . . . . . 6  |-  ( b  =  l  ->  (
c  .+  ( b  .x.  Z ) )  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) )
8887eqeq2d 2453 . . . . 5  |-  ( b  =  l  ->  ( X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) ) )
8988rexbidv 2732 . . . 4  |-  ( b  =  l  ->  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
l  .x.  Z )
) ) )
9089reu4 3134 . . 3  |-  ( E! b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  ( E. b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  /\  A. b  e.  K  A. l  e.  K  (
( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b 
.x.  Z ) )  /\  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( l 
.x.  Z ) ) )  ->  b  =  l ) ) )
9147, 85, 90sylanbrc 647 . 2  |-  ( ph  ->  E! b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
92 oveq1 6117 . . . . . . 7  |-  ( b  =  k  ->  (
b  .x.  Z )  =  ( k  .x.  Z ) )
9392oveq2d 6126 . . . . . 6  |-  ( b  =  k  ->  (
c  .+  ( b  .x.  Z ) )  =  ( c  .+  (
k  .x.  Z )
) )
9493eqeq2d 2453 . . . . 5  |-  ( b  =  k  ->  ( X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  X  =  ( c  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
9594rexbidv 2732 . . . 4  |-  ( b  =  k  ->  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
9695cbvreuv 2940 . . 3  |-  ( E! b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E! k  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  (
k  .x.  Z )
) )
97 oveq1 6117 . . . . . 6  |-  ( c  =  y  ->  (
c  .+  ( k  .x.  Z ) )  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) )
9897eqeq2d 2453 . . . . 5  |-  ( c  =  y  ->  ( X  =  ( c  .+  ( k  .x.  Z
) )  <->  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) ) )
9998cbvrexv 2939 . . . 4  |-  ( E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( k  .x.  Z
) )  <->  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) )
10099reubii 2900 . . 3  |-  ( E! k  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( k  .x.  Z
) )  <->  E! k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) )
10196, 100bitri 242 . 2  |-  ( E! b  e.  K  E. c  e.  U  X  =  ( c  .+  ( b  .x.  Z
) )  <->  E! k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  (
k  .x.  Z )
) )
10291, 101sylib 190 1  |-  ( ph  ->  E! k  e.  K  E. y  e.  U  X  =  ( y  .+  ( k  .x.  Z
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711   E.wrex 2712   E!wreu 2713    i^i cin 3305    C_ wss 3306   {csn 3838   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Basecbs 13500   +g cplusg 13560  Scalarcsca 13563   .scvsca 13564   0gc0g 13754  SubGrpcsubg 14969  Cntzccntz 15145   LSSumclsm 15299   Abelcabel 15444   LModclmod 15981   LSubSpclss 16039   LSpanclspn 16078   LVecclvec 16205  LSHypclsh 29871
This theorem is referenced by:  lshpkrlem1  30006  lshpkrlem2  30007  lshpkrlem3  30008  lshpkrcl  30012  dochfl1  32372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6508  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-sbg 14845  df-subg 14972  df-cntz 15147  df-lsm 15301  df-cmn 15445  df-abl 15446  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-ur 15696  df-oppr 15759  df-dvdsr 15777  df-unit 15778  df-invr 15808  df-drng 15868  df-lmod 15983  df-lss 16040  df-lsp 16079  df-lvec 16206  df-lshyp 29873
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