Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsm4 Structured version   Unicode version

Theorem lsm4 15467
 Description: Commutative/associative law for subgroup sum. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmcom.s
Assertion
Ref Expression
lsm4 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp

Proof of Theorem lsm4
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . . . 6 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
2 simp2r 984 . . . . . 6 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
3 simp3l 985 . . . . . 6 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
4 lsmcom.s . . . . . . 7
54lsmcom 15465 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
61, 2, 3, 5syl3anc 1184 . . . . 5 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
76oveq2d 6089 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
8 simp2l 983 . . . . 5 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
94lsmass 15294 . . . . 5 SubGrp SubGrp SubGrp
108, 2, 3, 9syl3anc 1184 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
114lsmass 15294 . . . . 5 SubGrp SubGrp SubGrp
128, 3, 2, 11syl3anc 1184 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
137, 10, 123eqtr4d 2477 . . 3 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
1413oveq1d 6088 . 2 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
154lsmsubg2 15466 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
161, 8, 2, 15syl3anc 1184 . . 3 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
17 simp3r 986 . . 3 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
184lsmass 15294 . . 3 SubGrp SubGrp SubGrp
1916, 3, 17, 18syl3anc 1184 . 2 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
204lsmsubg2 15466 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
211, 8, 3, 20syl3anc 1184 . . 3 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
224lsmass 15294 . . 3 SubGrp SubGrp SubGrp
2321, 2, 17, 22syl3anc 1184 . 2 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
2414, 19, 233eqtr3d 2475 1 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cfv 5446  (class class class)co 6073  SubGrpcsubg 14930  clsm 15260  cabel 15405 This theorem is referenced by:  dihjatcclem1  32153 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-lsm 15262  df-cmn 15406  df-abl 15407
 Copyright terms: Public domain W3C validator