MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsm4 Unicode version

Theorem lsm4 15402
Description: Commutative/associative law for subgroup sum. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmcom.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
lsm4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( Q 
.(+)  R )  .(+)  ( T 
.(+)  U ) )  =  ( ( Q  .(+)  T )  .(+)  ( R  .(+) 
U ) ) )

Proof of Theorem lsm4
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  G  e.  Abel )
2 simp2r 984 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  R  e.  (SubGrp `  G ) )
3 simp3l 985 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
4 lsmcom.s . . . . . . 7  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
54lsmcom 15400 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( R  .(+)  T )  =  ( T  .(+)  R ) )
61, 2, 3, 5syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( R  .(+)  T )  =  ( T 
.(+)  R ) )
76oveq2d 6036 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( Q  .(+)  ( R  .(+)  T )
)  =  ( Q 
.(+)  ( T  .(+)  R ) ) )
8 simp2l 983 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  Q  e.  (SubGrp `  G ) )
94lsmass 15229 . . . . 5  |-  ( ( Q  e.  (SubGrp `  G )  /\  R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( Q  .(+)  R )  .(+)  T )  =  ( Q  .(+)  ( R  .(+)  T )
) )
108, 2, 3, 9syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( Q 
.(+)  R )  .(+)  T )  =  ( Q  .(+)  ( R  .(+)  T )
) )
114lsmass 15229 . . . . 5  |-  ( ( Q  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( Q  .(+)  T )  .(+)  R )  =  ( Q  .(+)  ( T  .(+)  R )
) )
128, 3, 2, 11syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( Q 
.(+)  T )  .(+)  R )  =  ( Q  .(+)  ( T  .(+)  R )
) )
137, 10, 123eqtr4d 2429 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( Q 
.(+)  R )  .(+)  T )  =  ( ( Q 
.(+)  T )  .(+)  R ) )
1413oveq1d 6035 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( ( Q  .(+)  R )  .(+)  T )  .(+)  U )  =  ( ( ( Q  .(+)  T )  .(+)  R )  .(+)  U ) )
154lsmsubg2 15401 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  Q  e.  (SubGrp `  G )  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( Q  .(+)  R )  e.  (SubGrp `  G
) )
161, 8, 2, 15syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( Q  .(+)  R )  e.  (SubGrp `  G ) )
17 simp3r 986 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
184lsmass 15229 . . 3  |-  ( ( ( Q  .(+)  R )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  (
( ( Q  .(+)  R )  .(+)  T )  .(+)  U )  =  ( ( Q  .(+)  R ) 
.(+)  ( T  .(+)  U ) ) )
1916, 3, 17, 18syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( ( Q  .(+)  R )  .(+)  T )  .(+)  U )  =  ( ( Q 
.(+)  R )  .(+)  ( T 
.(+)  U ) ) )
204lsmsubg2 15401 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  Q  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( Q  .(+)  T )  e.  (SubGrp `  G
) )
211, 8, 3, 20syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( Q  .(+)  T )  e.  (SubGrp `  G ) )
224lsmass 15229 . . 3  |-  ( ( ( Q  .(+)  T )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G
) )  ->  (
( ( Q  .(+)  T )  .(+)  R )  .(+)  U )  =  ( ( Q  .(+)  T ) 
.(+)  ( R  .(+)  U ) ) )
2321, 2, 17, 22syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( ( Q  .(+)  T )  .(+)  R )  .(+)  U )  =  ( ( Q 
.(+)  T )  .(+)  ( R 
.(+)  U ) ) )
2414, 19, 233eqtr3d 2427 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( Q  e.  (SubGrp `  G
)  /\  R  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) ) )  ->  ( ( Q 
.(+)  R )  .(+)  ( T 
.(+)  U ) )  =  ( ( Q  .(+)  T )  .(+)  ( R  .(+) 
U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5394  (class class class)co 6020  SubGrpcsubg 14865   LSSumclsm 15195   Abelcabel 15340
This theorem is referenced by:  dihjatcclem1  31533
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-subg 14868  df-cntz 15043  df-lsm 15197  df-cmn 15341  df-abl 15342
  Copyright terms: Public domain W3C validator