MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmass Structured version   Unicode version

Theorem lsmass 15294
Description: Subgroup sum is associative. (Contributed by NM, 2-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmub1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmass  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( R  .(+)  T )  .(+)  U )  =  ( R  .(+)  ( T  .(+)  U )
) )

Proof of Theorem lsmass
Dummy variables  a 
c  x  y  z  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 lsmub1.p . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
41, 2, 3lsmval 15274 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( R  .(+) 
T )  =  ran  ( a  e.  R ,  b  e.  T  |->  ( a ( +g  `  G ) b ) ) )
543adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( R  .(+)  T )  =  ran  ( a  e.  R ,  b  e.  T  |->  ( a ( +g  `  G
) b ) ) )
65rexeqdv 2903 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( E. y  e.  ( R  .(+)  T ) E. c  e.  U  x  =  ( y
( +g  `  G ) c )  <->  E. y  e.  ran  ( a  e.  R ,  b  e.  T  |->  ( a ( +g  `  G ) b ) ) E. c  e.  U  x  =  ( y ( +g  `  G ) c ) ) )
7 ovex 6098 . . . . . . 7  |-  ( a ( +g  `  G
) b )  e. 
_V
87rgen2w 2766 . . . . . 6  |-  A. a  e.  R  A. b  e.  T  ( a
( +g  `  G ) b )  e.  _V
9 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  R ,  b  e.  T  |->  ( a ( +g  `  G
) b ) )  =  ( a  e.  R ,  b  e.  T  |->  ( a ( +g  `  G ) b ) )
10 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  (
y ( +g  `  G
) c )  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) )
1110eqeq2d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  (
x  =  ( y ( +g  `  G
) c )  <->  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) ) )
1211rexbidv 2718 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  ( E. c  e.  U  x  =  ( y
( +g  `  G ) c )  <->  E. c  e.  U  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) ) )
139, 12rexrnmpt2 6177 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  R  A. b  e.  T  (
a ( +g  `  G
) b )  e. 
_V  ->  ( E. y  e.  ran  ( a  e.  R ,  b  e.  T  |->  ( a ( +g  `  G ) b ) ) E. c  e.  U  x  =  ( y ( +g  `  G ) c )  <->  E. a  e.  R  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) ) )
148, 13ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ran  (
a  e.  R , 
b  e.  T  |->  ( a ( +g  `  G
) b ) ) E. c  e.  U  x  =  ( y
( +g  `  G ) c )  <->  E. a  e.  R  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) )
156, 14syl6bb 253 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( E. y  e.  ( R  .(+)  T ) E. c  e.  U  x  =  ( y
( +g  `  G ) c )  <->  E. a  e.  R  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) ) )
161, 2, 3lsmval 15274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( T  .(+) 
U )  =  ran  ( b  e.  T ,  c  e.  U  |->  ( b ( +g  `  G ) c ) ) )
17163adant1 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( T  .(+)  U )  =  ran  ( b  e.  T ,  c  e.  U  |->  ( b ( +g  `  G
) c ) ) )
1817rexeqdv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z )  <->  E. z  e.  ran  ( b  e.  T ,  c  e.  U  |->  ( b ( +g  `  G ) c ) ) x  =  ( a ( +g  `  G ) z ) ) )
19 ovex 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( b ( +g  `  G
) c )  e. 
_V
2019rgen2w 2766 . . . . . . . . 9  |-  A. b  e.  T  A. c  e.  U  ( b
( +g  `  G ) c )  e.  _V
21 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  T ,  c  e.  U  |->  ( b ( +g  `  G
) c ) )  =  ( b  e.  T ,  c  e.  U  |->  ( b ( +g  `  G ) c ) )
22 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( b ( +g  `  G ) c )  ->  (
a ( +g  `  G
) z )  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) )
2322eqeq2d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( b ( +g  `  G ) c )  ->  (
x  =  ( a ( +g  `  G
) z )  <->  x  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) ) )
2421, 23rexrnmpt2 6177 . . . . . . . . 9  |-  ( A. b  e.  T  A. c  e.  U  (
b ( +g  `  G
) c )  e. 
_V  ->  ( E. z  e.  ran  ( b  e.  T ,  c  e.  U  |->  ( b ( +g  `  G ) c ) ) x  =  ( a ( +g  `  G ) z )  <->  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) ) )
2520, 24ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  ran  (
b  e.  T , 
c  e.  U  |->  ( b ( +g  `  G
) c ) ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z )  <->  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) )
2618, 25syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z )  <->  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) ) )
2726adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  a  e.  R )  ->  ( E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z )  <->  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) ) )
28 subgrcl 14941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
29283ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  G  e.  Grp )
3029ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  G  e.  Grp )
311subgss 14937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  (SubGrp `  G
)  ->  R  C_  ( Base `  G ) )
32313ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  R  C_  ( Base `  G
) )
3332ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  R  C_  ( Base `  G ) )
34 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  a  e.  R )
3533, 34sseldd 3341 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  a  e.  ( Base `  G )
)
361subgss 14937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
37363ad2ant2 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  T  C_  ( Base `  G
) )
3837ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
39 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  b  e.  T )
4038, 39sseldd 3341 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  b  e.  ( Base `  G )
)
411subgss 14937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
42413ad2ant3 980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  U  C_  ( Base `  G
) )
4342ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
44 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  c  e.  U )
4543, 44sseldd 3341 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  c  e.  ( Base `  G )
)
461, 2grpass 14811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( a  e.  (
Base `  G )  /\  b  e.  ( Base `  G )  /\  c  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( ( a ( +g  `  G
) b ) ( +g  `  G ) c )  =  ( a ( +g  `  G
) ( b ( +g  `  G ) c ) ) )
4730, 35, 40, 45, 46syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  ( (
a ( +g  `  G
) b ) ( +g  `  G ) c )  =  ( a ( +g  `  G
) ( b ( +g  `  G ) c ) ) )
4847eqeq2d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  a  e.  R )  /\  (
b  e.  T  /\  c  e.  U )
)  ->  ( x  =  ( ( a ( +g  `  G
) b ) ( +g  `  G ) c )  <->  x  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) ) )
49482rexbidva 2738 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  a  e.  R )  ->  ( E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G
) c )  <->  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) ( b ( +g  `  G
) c ) ) ) )
5027, 49bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  a  e.  R )  ->  ( E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z )  <->  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) ) )
5150rexbidva 2714 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( E. a  e.  R  E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z )  <->  E. a  e.  R  E. b  e.  T  E. c  e.  U  x  =  ( ( a ( +g  `  G ) b ) ( +g  `  G ) c ) ) )
5215, 51bitr4d 248 . . 3  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( E. y  e.  ( R  .(+)  T ) E. c  e.  U  x  =  ( y
( +g  `  G ) c )  <->  E. a  e.  R  E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z ) ) )
53 grpmnd 14809 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
5429, 53syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  G  e.  Mnd )
551, 3lsmssv 15269 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  R  C_  ( Base `  G
)  /\  T  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( R  .(+)  T )  C_  ( Base `  G ) )
5654, 32, 37, 55syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( R  .(+)  T ) 
C_  ( Base `  G
) )
571, 2, 3lsmelvalx 15266 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( R  .(+)  T ) 
C_  ( Base `  G
)  /\  U  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( ( R  .(+)  T )  .(+)  U )  <->  E. y  e.  ( R 
.(+)  T ) E. c  e.  U  x  =  ( y ( +g  `  G ) c ) ) )
5829, 56, 42, 57syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( x  e.  ( ( R  .(+)  T ) 
.(+)  U )  <->  E. y  e.  ( R  .(+)  T ) E. c  e.  U  x  =  ( y
( +g  `  G ) c ) ) )
591, 3lsmssv 15269 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  T  C_  ( Base `  G
)  /\  U  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( T  .(+)  U )  C_  ( Base `  G ) )
6054, 37, 42, 59syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( T  .(+)  U ) 
C_  ( Base `  G
) )
611, 2, 3lsmelvalx 15266 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  R  C_  ( Base `  G
)  /\  ( T  .(+) 
U )  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( R  .(+)  ( T 
.(+)  U ) )  <->  E. a  e.  R  E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z ) ) )
6229, 32, 60, 61syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( x  e.  ( R  .(+)  ( T  .(+) 
U ) )  <->  E. a  e.  R  E. z  e.  ( T  .(+)  U ) x  =  ( a ( +g  `  G
) z ) ) )
6352, 58, 623bitr4d 277 . 2  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( x  e.  ( ( R  .(+)  T ) 
.(+)  U )  <->  x  e.  ( R  .(+)  ( T 
.(+)  U ) ) ) )
6463eqrdv 2433 1  |-  ( ( R  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( R  .(+)  T )  .(+)  U )  =  ( R  .(+)  ( T  .(+)  U )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   ran crn 4871   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   Mndcmnd 14676   Grpcgrp 14677  SubGrpcsubg 14930   LSSumclsm 15260
This theorem is referenced by:  lsm4  15467  pgpfac1lem3  15627  lsatcvat3  29787
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-subg 14933  df-lsm 15262
  Copyright terms: Public domain W3C validator