MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcntz Structured version   Unicode version

Theorem lsmcntz 15301
Description: The "subgroups commute" predicate applied to a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
lsmcntz.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmcntz.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmcntz.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmcntz.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmcntz  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  T )  C_  ( Z `  U )  <->  ( S  C_  ( Z `  U
)  /\  T  C_  ( Z `  U )
) ) )

Proof of Theorem lsmcntz
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2 lsmcntz.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
3 lsmcntz.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
4 subgrcl 14939 . . . . 5  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
5 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
65subgss 14935 . . . . 5  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
7 lsmcntz.z . . . . . 6  |-  Z  =  (Cntz `  G )
85, 7cntzsubg 15125 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  U  C_  ( Base `  G
) )  ->  ( Z `  U )  e.  (SubGrp `  G )
)
94, 6, 8syl2anc 643 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Z `  U )  e.  (SubGrp `  G ) )
103, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Z `  U
)  e.  (SubGrp `  G ) )
11 lsmcntz.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
1211lsmlub 15287 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( Z `  U
)  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( S  C_  ( Z `  U )  /\  T  C_  ( Z `  U )
)  <->  ( S  .(+)  T )  C_  ( Z `  U ) ) )
131, 2, 10, 12syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  C_  ( Z `  U )  /\  T  C_  ( Z `  U )
)  <->  ( S  .(+)  T )  C_  ( Z `  U ) ) )
1413bicomd 193 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  T )  C_  ( Z `  U )  <->  ( S  C_  ( Z `  U
)  /\  T  C_  ( Z `  U )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13459   Grpcgrp 14675  SubGrpcsubg 14928  Cntzccntz 15104   LSSumclsm 15258
This theorem is referenced by:  lsmcntzr  15302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-0g 13717  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-subg 14931  df-cntz 15106  df-lsm 15260
  Copyright terms: Public domain W3C validator