Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcomx Structured version   Unicode version

Theorem lsmcomx 15463
 Description: Subgroup sum commutes (extended domain version). (Contributed by NM, 25-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcomx.v
lsmcomx.s
Assertion
Ref Expression
lsmcomx

Proof of Theorem lsmcomx
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . . . . . 7
2 simpl2 961 . . . . . . . 8
3 simprl 733 . . . . . . . 8
42, 3sseldd 3341 . . . . . . 7
5 simpl3 962 . . . . . . . 8
6 simprr 734 . . . . . . . 8
75, 6sseldd 3341 . . . . . . 7
8 lsmcomx.v . . . . . . . 8
9 eqid 2435 . . . . . . . 8
108, 9ablcom 15421 . . . . . . 7
111, 4, 7, 10syl3anc 1184 . . . . . 6
1211eqeq2d 2446 . . . . 5
13122rexbidva 2738 . . . 4
14 rexcom 2861 . . . 4
1513, 14syl6bb 253 . . 3
16 lsmcomx.s . . . 4
178, 9, 16lsmelvalx 15266 . . 3
188, 9, 16lsmelvalx 15266 . . . 4
19183com23 1159 . . 3
2015, 17, 193bitr4d 277 . 2
2120eqrdv 2433 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698   wss 3312  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   cplusg 13521  clsm 15260  cabel 15405 This theorem is referenced by:  lsmcom  15465 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-lsm 15262  df-cmn 15406  df-abl 15407
 Copyright terms: Public domain W3C validator