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Theorem lsmcss 16692
Description: A subset of a pre-Hilbert space whose double orthocomplement has a projection decomposition is a closed subspace. This is the core of the proof that a topologically closed subspace is algebraically closed in a Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcss.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
lsmcss.j  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsmcss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
lsmcss.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmcss.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
lsmcss.2  |-  ( ph  ->  S  C_  V )
lsmcss.3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  ( S  .(+)  (  ._|_  `  S ) ) )
Assertion
Ref Expression
lsmcss  |-  ( ph  ->  S  e.  C )

Proof of Theorem lsmcss
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmcss.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  ( S  .(+)  (  ._|_  `  S ) ) )
21sseld 3255 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  ( S  .(+)  (  ._|_  `  S ) ) ) )
3 lsmcss.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
4 phllmod 16634 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
53, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lsmcss.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  V )
7 lsmcss.j . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 lsmcss.o . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
97, 8ocvss 16670 . . . . . . . 8  |-  (  ._|_  `  S )  C_  V
109a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  S ) 
C_  V )
11 eqid 2358 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
12 lsmcss.p . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
137, 11, 12lsmelvalx 15044 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  C_  V  /\  (  ._|_  `  S )  C_  V
)  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  (  ._|_  `  S ) )  <->  E. y  e.  S  E. z  e.  (  ._|_  `  S
) x  =  ( y ( +g  `  W
) z ) ) )
145, 6, 10, 13syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  (  ._|_  `  S ) )  <->  E. y  e.  S  E. z  e.  (  ._|_  `  S
) x  =  ( y ( +g  `  W
) z ) ) )
152, 14sylibd 205 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  E. y  e.  S  E. z  e.  (  ._|_  `  S
) x  =  ( y ( +g  `  W
) z ) ) )
163ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  ->  W  e.  PreHil )
176ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  ->  S  C_  V )
18 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
y  e.  S )
1917, 18sseldd 3257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
y  e.  V )
20 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
z  e.  (  ._|_  `  S ) )
219, 20sseldi 3254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
z  e.  V )
22 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
23 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
24 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  (Scalar `  W )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  W )
)
2522, 23, 7, 11, 24ipdir 16643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
y  e.  V  /\  z  e.  V  /\  z  e.  V )
)  ->  ( (
y ( +g  `  W
) z ) ( .i `  W ) z )  =  ( ( y ( .i
`  W ) z ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( z ( .i `  W ) z ) ) )
2616, 19, 21, 21, 25syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  W ) z ) ( .i
`  W ) z )  =  ( ( y ( .i `  W ) z ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( z ( .i `  W ) z ) ) )
27 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
287, 23, 22, 27, 8ocvi 16669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  (  ._|_  `  S )  /\  y  e.  S )  ->  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
2920, 18, 28syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
3022, 23, 7, 27iporthcom 16639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  z  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  (
( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  ( y ( .i `  W ) z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
3116, 21, 19, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  ( y
( .i `  W
) z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
3229, 31mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( .i
`  W ) z )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
3332oveq1d 5957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( y ( .i `  W ) z ) ( +g  `  (Scalar `  W )
) ( z ( .i `  W ) z ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( z ( .i `  W ) z ) ) )
3416, 4syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  ->  W  e.  LMod )
3522lmodfgrp 15729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LMod  ->  (Scalar `  W )  e.  Grp )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
(Scalar `  W )  e.  Grp )
37 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
3822, 23, 7, 37ipcl 16637 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  z  e.  V  /\  z  e.  V )  ->  (
z ( .i `  W ) z )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
3916, 21, 21, 38syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( z ( .i
`  W ) z )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
4037, 24, 27grplid 14605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (Scalar `  W )  e.  Grp  /\  ( z ( .i `  W
) z )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  ->  ( ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( z ( .i `  W ) z ) )  =  ( z ( .i `  W
) z ) )
4136, 39, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( z ( .i `  W ) z ) )  =  ( z ( .i `  W
) z ) )
4226, 33, 413eqtrd 2394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  W ) z ) ( .i
`  W ) z )  =  ( z ( .i `  W
) z ) )
43 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
447, 23, 22, 27, 8ocvi 16669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y ( +g  `  W ) z )  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  /\  z  e.  ( 
._|_  `  S ) )  ->  ( ( y ( +g  `  W
) z ) ( .i `  W ) z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
4543, 20, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  W ) z ) ( .i
`  W ) z )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
4642, 45eqtr3d 2392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( z ( .i
`  W ) z )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
47 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
4822, 23, 7, 27, 47ipeq0 16642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  z  e.  V )  ->  (
( z ( .i
`  W ) z )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  z  =  ( 0g `  W ) ) )
4916, 21, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( z ( .i `  W ) z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  z  =  ( 0g `  W ) ) )
5046, 49mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
z  =  ( 0g
`  W ) )
5150oveq2d 5958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  =  ( y ( +g  `  W ) ( 0g `  W
) ) )
52 lmodgrp 15727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
535, 52syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
5453ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  ->  W  e.  Grp )
557, 11, 47grprid 14606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  y  e.  V )  ->  ( y ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) )  =  y )
5654, 19, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) )  =  y )
5751, 56eqtrd 2390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  =  y )
5857, 18eqeltrd 2432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  e.  S )
5958ex 423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  (
y ( +g  `  W
) z )  e.  S ) )
60 eleq1 2418 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  W ) z )  ->  (
x  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  <->  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) ) )
61 eleq1 2418 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  W ) z )  ->  (
x  e.  S  <->  ( y
( +g  `  W ) z )  e.  S
) )
6260, 61imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  W ) z )  ->  (
( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  S )  <->  ( (
y ( +g  `  W
) z )  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  e.  S ) ) )
6359, 62syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  -> 
( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  S ) ) )
6463rexlimdvva 2750 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  S  E. z  e.  (  ._|_  `  S ) x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  -> 
( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  S ) ) )
6515, 64syld 40 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  (
x  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  ->  x  e.  S ) ) )
6665pm2.43d 44 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  S ) )
6766ssrdv 3261 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  S )
68 lsmcss.c . . . 4  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
697, 68, 8iscss2 16686 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( S  e.  C  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  S )
)
703, 6, 69syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  e.  C  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  C_  S
) )
7167, 70mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  S  e.  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   E.wrex 2620    C_ wss 3228   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   Basecbs 13239   +g cplusg 13299  Scalarcsca 13302   .icip 13304   0gc0g 13493   Grpcgrp 14455   LSSumclsm 15038   LModclmod 15720   PreHilcphl 16628   ocvcocv 16660   CSubSpccss 16661
This theorem is referenced by:  pjcss  16716
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-tpos 6318  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-0g 13497  df-mnd 14460  df-mhm 14508  df-grp 14582  df-ghm 14774  df-lsm 15040  df-mgp 15419  df-rng 15433  df-ur 15435  df-oppr 15498  df-rnghom 15589  df-staf 15703  df-srng 15704  df-lmod 15722  df-lmhm 15872  df-lvec 15949  df-sra 16018  df-rgmod 16019  df-phl 16630  df-ocv 16663  df-css 16664
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