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Theorem lsmcss 16924
Description: A subset of a pre-Hilbert space whose double orthocomplement has a projection decomposition is a closed subspace. This is the core of the proof that a topologically closed subspace is algebraically closed in a Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcss.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
lsmcss.j  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsmcss.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
lsmcss.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmcss.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
lsmcss.2  |-  ( ph  ->  S  C_  V )
lsmcss.3  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  ( S  .(+)  (  ._|_  `  S ) ) )
Assertion
Ref Expression
lsmcss  |-  ( ph  ->  S  e.  C )

Proof of Theorem lsmcss
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmcss.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  ( S  .(+)  (  ._|_  `  S ) ) )
21sseld 3349 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  ( S  .(+)  (  ._|_  `  S ) ) ) )
3 lsmcss.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
4 phllmod 16866 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
53, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lsmcss.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  V )
7 lsmcss.j . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 lsmcss.o . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
97, 8ocvss 16902 . . . . . . . 8  |-  (  ._|_  `  S )  C_  V
109a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  S ) 
C_  V )
11 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
12 lsmcss.p . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
137, 11, 12lsmelvalx 15279 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  C_  V  /\  (  ._|_  `  S )  C_  V
)  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  (  ._|_  `  S ) )  <->  E. y  e.  S  E. z  e.  (  ._|_  `  S
) x  =  ( y ( +g  `  W
) z ) ) )
145, 6, 10, 13syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  (  ._|_  `  S ) )  <->  E. y  e.  S  E. z  e.  (  ._|_  `  S
) x  =  ( y ( +g  `  W
) z ) ) )
152, 14sylibd 207 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  E. y  e.  S  E. z  e.  (  ._|_  `  S
) x  =  ( y ( +g  `  W
) z ) ) )
163ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  ->  W  e.  PreHil )
176ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  ->  S  C_  V )
18 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
y  e.  S )
1917, 18sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
y  e.  V )
20 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
z  e.  (  ._|_  `  S ) )
219, 20sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
z  e.  V )
22 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
23 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
24 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  (Scalar `  W )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  W )
)
2522, 23, 7, 11, 24ipdir 16875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
y  e.  V  /\  z  e.  V  /\  z  e.  V )
)  ->  ( (
y ( +g  `  W
) z ) ( .i `  W ) z )  =  ( ( y ( .i
`  W ) z ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( z ( .i `  W ) z ) ) )
2616, 19, 21, 21, 25syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  W ) z ) ( .i
`  W ) z )  =  ( ( y ( .i `  W ) z ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( z ( .i `  W ) z ) ) )
27 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
287, 23, 22, 27, 8ocvi 16901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  (  ._|_  `  S )  /\  y  e.  S )  ->  (
z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
2920, 18, 28syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
3022, 23, 7, 27iporthcom 16871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  z  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  (
( z ( .i
`  W ) y )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  ( y ( .i `  W ) z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
3116, 21, 19, 30syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( z ( .i `  W ) y )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  ( y
( .i `  W
) z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
3229, 31mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( .i
`  W ) z )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
3332oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( y ( .i `  W ) z ) ( +g  `  (Scalar `  W )
) ( z ( .i `  W ) z ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( z ( .i `  W ) z ) ) )
3416, 4syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  ->  W  e.  LMod )
3522lmodfgrp 15964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LMod  ->  (Scalar `  W )  e.  Grp )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
(Scalar `  W )  e.  Grp )
37 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
3822, 23, 7, 37ipcl 16869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  z  e.  V  /\  z  e.  V )  ->  (
z ( .i `  W ) z )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
3916, 21, 21, 38syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( z ( .i
`  W ) z )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
4037, 24, 27grplid 14840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (Scalar `  W )  e.  Grp  /\  ( z ( .i `  W
) z )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )  ->  ( ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( z ( .i `  W ) z ) )  =  ( z ( .i `  W
) z ) )
4136, 39, 40syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( z ( .i `  W ) z ) )  =  ( z ( .i `  W
) z ) )
4226, 33, 413eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  W ) z ) ( .i
`  W ) z )  =  ( z ( .i `  W
) z ) )
43 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
447, 23, 22, 27, 8ocvi 16901 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y ( +g  `  W ) z )  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  /\  z  e.  ( 
._|_  `  S ) )  ->  ( ( y ( +g  `  W
) z ) ( .i `  W ) z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
4543, 20, 44syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  W ) z ) ( .i
`  W ) z )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
4642, 45eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( z ( .i
`  W ) z )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
47 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
4822, 23, 7, 27, 47ipeq0 16874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  z  e.  V )  ->  (
( z ( .i
`  W ) z )  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  <->  z  =  ( 0g `  W ) ) )
4916, 21, 48syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( z ( .i `  W ) z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  <->  z  =  ( 0g `  W ) ) )
5046, 49mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
z  =  ( 0g
`  W ) )
5150oveq2d 6100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  =  ( y ( +g  `  W ) ( 0g `  W
) ) )
52 lmodgrp 15962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
535, 52syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
5453ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  ->  W  e.  Grp )
557, 11, 47grprid 14841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  y  e.  V )  ->  ( y ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) )  =  y )
5654, 19, 55syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) )  =  y )
5751, 56eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  =  y )
5857, 18eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S ) ) )  /\  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  e.  S )
5958ex 425 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  (
y ( +g  `  W
) z )  e.  S ) )
60 eleq1 2498 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  W ) z )  ->  (
x  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  <->  ( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) ) ) )
61 eleq1 2498 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  W ) z )  ->  (
x  e.  S  <->  ( y
( +g  `  W ) z )  e.  S
) )
6260, 61imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  W ) z )  ->  (
( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  S )  <->  ( (
y ( +g  `  W
) z )  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  e.  S ) ) )
6359, 62syl5ibrcom 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  (  ._|_  `  S
) ) )  -> 
( x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  -> 
( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  S ) ) )
6463rexlimdvva 2839 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  S  E. z  e.  (  ._|_  `  S ) x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  -> 
( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  S ) ) )
6515, 64syld 43 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  (
x  e.  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  ->  x  e.  S ) ) )
6665pm2.43d 47 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  ->  x  e.  S ) )
6766ssrdv 3356 . 2  |-  ( ph  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  S )
68 lsmcss.c . . . 4  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
697, 68, 8iscss2 16918 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  S  C_  V )  ->  ( S  e.  C  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  S )
)
703, 6, 69syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  e.  C  <->  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  C_  S
) )
7167, 70mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  S  e.  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708    C_ wss 3322   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   +g cplusg 13534  Scalarcsca 13537   .icip 13539   0gc0g 13728   Grpcgrp 14690   LSSumclsm 15273   LModclmod 15955   PreHilcphl 16860   ocvcocv 16892   CSubSpccss 16893
This theorem is referenced by:  pjcss  16948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-grp 14817  df-ghm 15009  df-lsm 15275  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-rnghom 15824  df-staf 15938  df-srng 15939  df-lmod 15957  df-lmhm 16103  df-lvec 16180  df-sra 16249  df-rgmod 16250  df-phl 16862  df-ocv 16895  df-css 16896
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