Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcss Structured version   Unicode version

Theorem lsmcss 16924
 Description: A subset of a pre-Hilbert space whose double orthocomplement has a projection decomposition is a closed subspace. This is the core of the proof that a topologically closed subspace is algebraically closed in a Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcss.c
lsmcss.j
lsmcss.o
lsmcss.p
lsmcss.1
lsmcss.2
lsmcss.3
Assertion
Ref Expression
lsmcss

Proof of Theorem lsmcss
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmcss.3 . . . . . . 7
21sseld 3349 . . . . . 6
3 lsmcss.1 . . . . . . . 8
4 phllmod 16866 . . . . . . . 8
53, 4syl 16 . . . . . . 7
6 lsmcss.2 . . . . . . 7
7 lsmcss.j . . . . . . . . 9
8 lsmcss.o . . . . . . . . 9
97, 8ocvss 16902 . . . . . . . 8
109a1i 11 . . . . . . 7
11 eqid 2438 . . . . . . . 8
12 lsmcss.p . . . . . . . 8
137, 11, 12lsmelvalx 15279 . . . . . . 7
145, 6, 10, 13syl3anc 1185 . . . . . 6
152, 14sylibd 207 . . . . 5
163ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15
176ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1917, 18sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15
20 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16
219, 20sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . 15
22 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar
23 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16
24 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar
2522, 23, 7, 11, 24ipdir 16875 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
2616, 19, 21, 21, 25syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
27 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Scalar Scalar
287, 23, 22, 27, 8ocvi 16901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar
2920, 18, 28syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
3022, 23, 7, 27iporthcom 16871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar Scalar
3116, 21, 19, 30syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar Scalar
3229, 31mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
3332oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar Scalar Scalar
3416, 4syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3522lmodfgrp 15964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
37 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar Scalar
3822, 23, 7, 37ipcl 16869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
3916, 21, 21, 38syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
4037, 24, 27grplid 14840 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar Scalar Scalar
4136, 39, 40syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar Scalar
4226, 33, 413eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . 13
43 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14
447, 23, 22, 27, 8ocvi 16901 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
4543, 20, 44syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
4642, 45eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
47 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14
4822, 23, 7, 27, 47ipeq0 16874 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
4916, 21, 48syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
5046, 49mpbid 203 . . . . . . . . . . 11
5150oveq2d 6100 . . . . . . . . . 10
52 lmodgrp 15962 . . . . . . . . . . . . 13
535, 52syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5453ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11
557, 11, 47grprid 14841 . . . . . . . . . . 11
5654, 19, 55syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
5751, 56eqtrd 2470 . . . . . . . . 9
5857, 18eqeltrd 2512 . . . . . . . 8
5958ex 425 . . . . . . 7
60 eleq1 2498 . . . . . . . 8
61 eleq1 2498 . . . . . . . 8
6260, 61imbi12d 313 . . . . . . 7
6359, 62syl5ibrcom 215 . . . . . 6
6463rexlimdvva 2839 . . . . 5
6515, 64syld 43 . . . 4
6665pm2.43d 47 . . 3
6766ssrdv 3356 . 2
68 lsmcss.c . . . 4
697, 68, 8iscss2 16918 . . 3
703, 6, 69syl2anc 644 . 2
7167, 70mpbird 225 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708   wss 3322  cfv 5457  (class class class)co 6084  cbs 13474   cplusg 13534  Scalarcsca 13537  cip 13539  c0g 13728  cgrp 14690  clsm 15273  clmod 15955  cphl 16860  cocv 16892  ccss 16893 This theorem is referenced by:  pjcss  16948 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-grp 14817  df-ghm 15009  df-lsm 15275  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-rnghom 15824  df-staf 15938  df-srng 15939  df-lmod 15957  df-lmhm 16103  df-lvec 16180  df-sra 16249  df-rgmod 16250  df-phl 16862  df-ocv 16895  df-css 16896
 Copyright terms: Public domain W3C validator