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Theorem lsmdisj2 14991
Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
lsmcntz.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmcntz.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmcntz.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmdisj.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
lsmdisj.i  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U )  =  {  .0.  }
)
lsmdisj2.i  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
Assertion
Ref Expression
lsmdisj2  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) )  =  {  .0.  }
)

Proof of Theorem lsmdisj2
Dummy variables  x  u  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2 lsmcntz.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
3 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 lsmcntz.p . . . . . . . . 9  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
53, 4lsmelval 14960 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  U )  <->  E. s  e.  S  E. u  e.  U  x  =  ( s
( +g  `  G ) u ) ) )
61, 2, 5syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  U )  <->  E. s  e.  S  E. u  e.  U  x  =  ( s ( +g  `  G ) u ) ) )
7 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  S )
8 subgrcl 14626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
91, 8syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
109ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  G  e.  Grp )
111ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
12 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1312subgss 14622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1411, 13syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1514, 7sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  ( Base `  G )
)
16 lsmdisj.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
17 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
1812, 3, 16, 17grplinv 14528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 s ) ( +g  `  G ) s )  =  .0.  )
1910, 15, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) s )  =  .0.  )
2019oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) s ) ( +g  `  G ) u )  =  (  .0.  ( +g  `  G
) u ) )
2117subginvcl 14630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  s  e.  S )  ->  (
( inv g `  G ) `  s
)  e.  S )
2211, 7, 21syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 s )  e.  S )
2314, 22sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 s )  e.  ( Base `  G
) )
242ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
2512subgss 14622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
27 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  U )
2826, 27sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  ( Base `  G )
)
2912, 3grpass 14496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 s )  e.  ( Base `  G
)  /\  s  e.  ( Base `  G )  /\  u  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) s ) ( +g  `  G ) u )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) ( s ( +g  `  G ) u ) ) )
3010, 23, 15, 28, 29syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) s ) ( +g  `  G ) u )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) ( s ( +g  `  G ) u ) ) )
3112, 3, 16grplid 14512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  ( Base `  G ) )  -> 
(  .0.  ( +g  `  G ) u )  =  u )
3210, 28, 31syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  (  .0.  ( +g  `  G ) u )  =  u )
3320, 30, 323eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) ( s ( +g  `  G ) u ) )  =  u )
34 lsmcntz.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
3534ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
36 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)
373, 4lsmelvali 14961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( inv g `  G ) `  s
)  e.  S  /\  ( s ( +g  `  G ) u )  e.  T ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  s )
( +g  `  G ) ( s ( +g  `  G ) u ) )  e.  ( S 
.(+)  T ) )
3811, 35, 22, 36, 37syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) ( s ( +g  `  G ) u ) )  e.  ( S  .(+)  T ) )
3933, 38eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  ( S  .(+)  T ) )
40 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  ( ( S 
.(+)  T )  i^i  U
)  <->  ( u  e.  ( S  .(+)  T )  /\  u  e.  U
) )
4139, 27, 40sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U ) )
42 lsmdisj.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U )  =  {  .0.  }
)
4342ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( ( S  .(+)  T )  i^i 
U )  =  {  .0.  } )
4441, 43eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  {  .0.  } )
45 elsni 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  {  .0.  }  ->  u  =  .0.  )
4644, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  =  .0.  )
4746oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  ( s ( +g  `  G
)  .0.  ) )
4812, 3, 16grprid 14513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( s ( +g  `  G )  .0.  )  =  s )
4910, 15, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G )  .0.  )  =  s )
5047, 49eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  s )
5150, 36eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  T )
52 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( S  i^i  T )  <->  ( s  e.  S  /\  s  e.  T ) )
537, 51, 52sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  ( S  i^i  T ) )
54 lsmdisj2.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
5554ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( S  i^i  T )  =  {  .0.  } )
5653, 55eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  {  .0.  } )
57 elsni 3664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  {  .0.  }  ->  s  =  .0.  )
5856, 57syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  =  .0.  )
5958, 46oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  (  .0.  ( +g  `  G
)  .0.  ) )
6012, 16grpidcl 14510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
619, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
6212, 3, 16grplid 14512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  G
) )  ->  (  .0.  ( +g  `  G
)  .0.  )  =  .0.  )
639, 61, 62syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (  .0.  ( +g  `  G )  .0.  )  =  .0.  )
6463ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  (  .0.  ( +g  `  G )  .0.  )  =  .0.  )
6559, 64eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  .0.  )
6665ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  u  e.  U ) )  -> 
( ( s ( +g  `  G ) u )  e.  T  ->  ( s ( +g  `  G ) u )  =  .0.  ) )
67 eleq1 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( s ( +g  `  G ) u )  ->  (
x  e.  T  <->  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
) )
68 eqeq1 2289 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( s ( +g  `  G ) u )  ->  (
x  =  .0.  <->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  .0.  ) )
6967, 68imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( s ( +g  `  G ) u )  ->  (
( x  e.  T  ->  x  =  .0.  )  <->  ( ( s ( +g  `  G ) u )  e.  T  ->  (
s ( +g  `  G
) u )  =  .0.  ) ) )
7066, 69syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  u  e.  U ) )  -> 
( x  =  ( s ( +g  `  G
) u )  -> 
( x  e.  T  ->  x  =  .0.  )
) )
7170rexlimdvva 2674 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  S  E. u  e.  U  x  =  ( s ( +g  `  G
) u )  -> 
( x  e.  T  ->  x  =  .0.  )
) )
726, 71sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  U )  ->  ( x  e.  T  ->  x  =  .0.  )
) )
7372com23 72 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  T  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  U )  ->  x  =  .0.  )
) )
7473imp3a 420 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  T  /\  x  e.  ( S  .(+)  U ) )  ->  x  =  .0.  ) )
75 elin 3358 . . . 4  |-  ( x  e.  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) )  <->  ( x  e.  T  /\  x  e.  ( S  .(+)  U ) ) )
76 elsn 3655 . . . 4  |-  ( x  e.  {  .0.  }  <->  x  =  .0.  )
7774, 75, 763imtr4g 261 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( T  i^i  ( S 
.(+)  U ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) )
7877ssrdv 3185 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) ) 
C_  {  .0.  } )
7916subg0cl 14629 . . . . 5  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  T )
8034, 79syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  T )
814lsmub1 14967 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  S  C_  ( S  .(+)  U ) )
821, 2, 81syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  ( S  .(+) 
U ) )
8316subg0cl 14629 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )
841, 83syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  S )
8582, 84sseldd 3181 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( S 
.(+)  U ) )
86 elin 3358 . . . 4  |-  (  .0. 
e.  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) )  <->  (  .0.  e.  T  /\  .0.  e.  ( S  .(+)  U )
) )
8780, 85, 86sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) ) )
8887snssd 3760 . 2  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) ) )
8978, 88eqssd 3196 1  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) )  =  {  .0.  }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {csn 3640   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363  SubGrpcsubg 14615   LSSumclsm 14945
This theorem is referenced by:  lsmdisj3  14992  lsmdisj2r  14994  lsmdisj2a  14996  dprd2da  15277
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618  df-lsm 14947
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