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Theorem lsmdisj2 15234
Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
lsmcntz.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmcntz.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmcntz.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmdisj.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
lsmdisj.i  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U )  =  {  .0.  }
)
lsmdisj2.i  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
Assertion
Ref Expression
lsmdisj2  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) )  =  {  .0.  }
)

Proof of Theorem lsmdisj2
Dummy variables  x  u  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2 lsmcntz.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
3 eqid 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 lsmcntz.p . . . . . . . . 9  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
53, 4lsmelval 15203 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  U )  <->  E. s  e.  S  E. u  e.  U  x  =  ( s
( +g  `  G ) u ) ) )
61, 2, 5syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  U )  <->  E. s  e.  S  E. u  e.  U  x  =  ( s ( +g  `  G ) u ) ) )
7 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  S )
8 subgrcl 14869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
91, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
109ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  G  e.  Grp )
111ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
12 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1312subgss 14865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1411, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1514, 7sseldd 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  ( Base `  G )
)
16 lsmdisj.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
17 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
1812, 3, 16, 17grplinv 14771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 s ) ( +g  `  G ) s )  =  .0.  )
1910, 15, 18syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) s )  =  .0.  )
2019oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) s ) ( +g  `  G ) u )  =  (  .0.  ( +g  `  G
) u ) )
2117subginvcl 14873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  s  e.  S )  ->  (
( inv g `  G ) `  s
)  e.  S )
2211, 7, 21syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 s )  e.  S )
2314, 22sseldd 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 s )  e.  ( Base `  G
) )
242ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
2512subgss 14865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
27 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  U )
2826, 27sseldd 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  ( Base `  G )
)
2912, 3grpass 14739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 s )  e.  ( Base `  G
)  /\  s  e.  ( Base `  G )  /\  u  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) s ) ( +g  `  G ) u )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) ( s ( +g  `  G ) u ) ) )
3010, 23, 15, 28, 29syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) s ) ( +g  `  G ) u )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) ( s ( +g  `  G ) u ) ) )
3112, 3, 16grplid 14755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  ( Base `  G ) )  -> 
(  .0.  ( +g  `  G ) u )  =  u )
3210, 28, 31syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  (  .0.  ( +g  `  G ) u )  =  u )
3320, 30, 323eqtr3d 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) ( s ( +g  `  G ) u ) )  =  u )
34 lsmcntz.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
3534ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
36 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)
373, 4lsmelvali 15204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( inv g `  G ) `  s
)  e.  S  /\  ( s ( +g  `  G ) u )  e.  T ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  s )
( +g  `  G ) ( s ( +g  `  G ) u ) )  e.  ( S 
.(+)  T ) )
3811, 35, 22, 36, 37syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) ( s ( +g  `  G ) u ) )  e.  ( S  .(+)  T ) )
3933, 38eqeltrrd 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  ( S  .(+)  T ) )
40 elin 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  ( ( S 
.(+)  T )  i^i  U
)  <->  ( u  e.  ( S  .(+)  T )  /\  u  e.  U
) )
4139, 27, 40sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U ) )
42 lsmdisj.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U )  =  {  .0.  }
)
4342ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( ( S  .(+)  T )  i^i 
U )  =  {  .0.  } )
4441, 43eleqtrd 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  {  .0.  } )
45 elsni 3774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  {  .0.  }  ->  u  =  .0.  )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  =  .0.  )
4746oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  ( s ( +g  `  G
)  .0.  ) )
4812, 3, 16grprid 14756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( s ( +g  `  G )  .0.  )  =  s )
4910, 15, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G )  .0.  )  =  s )
5047, 49eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  s )
5150, 36eqeltrrd 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  T )
52 elin 3466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( S  i^i  T )  <->  ( s  e.  S  /\  s  e.  T ) )
537, 51, 52sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  ( S  i^i  T ) )
54 lsmdisj2.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
5554ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( S  i^i  T )  =  {  .0.  } )
5653, 55eleqtrd 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  {  .0.  } )
57 elsni 3774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  {  .0.  }  ->  s  =  .0.  )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  =  .0.  )
5958, 46oveq12d 6031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  (  .0.  ( +g  `  G
)  .0.  ) )
6012, 16grpidcl 14753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
619, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
6212, 3, 16grplid 14755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  G
) )  ->  (  .0.  ( +g  `  G
)  .0.  )  =  .0.  )
639, 61, 62syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (  .0.  ( +g  `  G )  .0.  )  =  .0.  )
6463ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  (  .0.  ( +g  `  G )  .0.  )  =  .0.  )
6559, 64eqtrd 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  .0.  )
6665ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  u  e.  U ) )  -> 
( ( s ( +g  `  G ) u )  e.  T  ->  ( s ( +g  `  G ) u )  =  .0.  ) )
67 eleq1 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( s ( +g  `  G ) u )  ->  (
x  e.  T  <->  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
) )
68 eqeq1 2386 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( s ( +g  `  G ) u )  ->  (
x  =  .0.  <->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  .0.  ) )
6967, 68imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( s ( +g  `  G ) u )  ->  (
( x  e.  T  ->  x  =  .0.  )  <->  ( ( s ( +g  `  G ) u )  e.  T  ->  (
s ( +g  `  G
) u )  =  .0.  ) ) )
7066, 69syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  u  e.  U ) )  -> 
( x  =  ( s ( +g  `  G
) u )  -> 
( x  e.  T  ->  x  =  .0.  )
) )
7170rexlimdvva 2773 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  S  E. u  e.  U  x  =  ( s ( +g  `  G
) u )  -> 
( x  e.  T  ->  x  =  .0.  )
) )
726, 71sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  U )  ->  ( x  e.  T  ->  x  =  .0.  )
) )
7372com23 74 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  T  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  U )  ->  x  =  .0.  )
) )
7473imp3a 421 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  T  /\  x  e.  ( S  .(+)  U ) )  ->  x  =  .0.  ) )
75 elin 3466 . . . 4  |-  ( x  e.  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) )  <->  ( x  e.  T  /\  x  e.  ( S  .(+)  U ) ) )
76 elsn 3765 . . . 4  |-  ( x  e.  {  .0.  }  <->  x  =  .0.  )
7774, 75, 763imtr4g 262 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( T  i^i  ( S 
.(+)  U ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) )
7877ssrdv 3290 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) ) 
C_  {  .0.  } )
7916subg0cl 14872 . . . . 5  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  T )
8034, 79syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  T )
814lsmub1 15210 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  S  C_  ( S  .(+)  U ) )
821, 2, 81syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  ( S  .(+) 
U ) )
8316subg0cl 14872 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )
841, 83syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  S )
8582, 84sseldd 3285 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( S 
.(+)  U ) )
86 elin 3466 . . . 4  |-  (  .0. 
e.  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) )  <->  (  .0.  e.  T  /\  .0.  e.  ( S  .(+)  U )
) )
8780, 85, 86sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) ) )
8887snssd 3879 . 2  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) ) )
8978, 88eqssd 3301 1  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) )  =  {  .0.  }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2643    i^i cin 3255    C_ wss 3256   {csn 3750   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   +g cplusg 13449   0gc0g 13643   Grpcgrp 14605   inv gcminusg 14606  SubGrpcsubg 14858   LSSumclsm 15188
This theorem is referenced by:  lsmdisj3  15235  lsmdisj2r  15237  lsmdisj2a  15239  dprd2da  15520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-0g 13647  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-subg 14861  df-lsm 15190
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