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Theorem lsmdisj2 15306
Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
lsmcntz.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmcntz.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmcntz.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmdisj.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
lsmdisj.i  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U )  =  {  .0.  }
)
lsmdisj2.i  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
Assertion
Ref Expression
lsmdisj2  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) )  =  {  .0.  }
)

Proof of Theorem lsmdisj2
Dummy variables  x  u  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2 lsmcntz.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
3 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 lsmcntz.p . . . . . . . . 9  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
53, 4lsmelval 15275 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  U )  <->  E. s  e.  S  E. u  e.  U  x  =  ( s
( +g  `  G ) u ) ) )
61, 2, 5syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  U )  <->  E. s  e.  S  E. u  e.  U  x  =  ( s ( +g  `  G ) u ) ) )
7 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  S )
8 subgrcl 14941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
91, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
109ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  G  e.  Grp )
111ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
12 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1312subgss 14937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1411, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  S  C_  ( Base `  G ) )
1514, 7sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  ( Base `  G )
)
16 lsmdisj.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
17 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
1812, 3, 16, 17grplinv 14843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 s ) ( +g  `  G ) s )  =  .0.  )
1910, 15, 18syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) s )  =  .0.  )
2019oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) s ) ( +g  `  G ) u )  =  (  .0.  ( +g  `  G
) u ) )
2117subginvcl 14945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  s  e.  S )  ->  (
( inv g `  G ) `  s
)  e.  S )
2211, 7, 21syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 s )  e.  S )
2314, 22sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 s )  e.  ( Base `  G
) )
242ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
2512subgss 14937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
27 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  U )
2826, 27sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  ( Base `  G )
)
2912, 3grpass 14811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 s )  e.  ( Base `  G
)  /\  s  e.  ( Base `  G )  /\  u  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) s ) ( +g  `  G ) u )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) ( s ( +g  `  G ) u ) ) )
3010, 23, 15, 28, 29syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) s ) ( +g  `  G ) u )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) ( s ( +g  `  G ) u ) ) )
3112, 3, 16grplid 14827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  ( Base `  G ) )  -> 
(  .0.  ( +g  `  G ) u )  =  u )
3210, 28, 31syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  (  .0.  ( +g  `  G ) u )  =  u )
3320, 30, 323eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) ( s ( +g  `  G ) u ) )  =  u )
34 lsmcntz.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
3534ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
36 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)
373, 4lsmelvali 15276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( inv g `  G ) `  s
)  e.  S  /\  ( s ( +g  `  G ) u )  e.  T ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  s )
( +g  `  G ) ( s ( +g  `  G ) u ) )  e.  ( S 
.(+)  T ) )
3811, 35, 22, 36, 37syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  s
) ( +g  `  G
) ( s ( +g  `  G ) u ) )  e.  ( S  .(+)  T ) )
3933, 38eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  ( S  .(+)  T ) )
40 elin 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  ( ( S 
.(+)  T )  i^i  U
)  <->  ( u  e.  ( S  .(+)  T )  /\  u  e.  U
) )
4139, 27, 40sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U ) )
42 lsmdisj.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U )  =  {  .0.  }
)
4342ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( ( S  .(+)  T )  i^i 
U )  =  {  .0.  } )
4441, 43eleqtrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  e.  {  .0.  } )
45 elsni 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  {  .0.  }  ->  u  =  .0.  )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  u  =  .0.  )
4746oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  ( s ( +g  `  G
)  .0.  ) )
4812, 3, 16grprid 14828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  s  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( s ( +g  `  G )  .0.  )  =  s )
4910, 15, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G )  .0.  )  =  s )
5047, 49eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  s )
5150, 36eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  T )
52 elin 3522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ( S  i^i  T )  <->  ( s  e.  S  /\  s  e.  T ) )
537, 51, 52sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  ( S  i^i  T ) )
54 lsmdisj2.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
5554ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( S  i^i  T )  =  {  .0.  } )
5653, 55eleqtrd 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  e.  {  .0.  } )
57 elsni 3830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  {  .0.  }  ->  s  =  .0.  )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  s  =  .0.  )
5958, 46oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  (  .0.  ( +g  `  G
)  .0.  ) )
6012, 16grpidcl 14825 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
619, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
6212, 3, 16grplid 14827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  .0.  e.  ( Base `  G
) )  ->  (  .0.  ( +g  `  G
)  .0.  )  =  .0.  )
639, 61, 62syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (  .0.  ( +g  `  G )  .0.  )  =  .0.  )
6463ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  (  .0.  ( +g  `  G )  .0.  )  =  .0.  )
6559, 64eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  S  /\  u  e.  U )
)  /\  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
)  ->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  .0.  )
6665ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  u  e.  U ) )  -> 
( ( s ( +g  `  G ) u )  e.  T  ->  ( s ( +g  `  G ) u )  =  .0.  ) )
67 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( s ( +g  `  G ) u )  ->  (
x  e.  T  <->  ( s
( +g  `  G ) u )  e.  T
) )
68 eqeq1 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( s ( +g  `  G ) u )  ->  (
x  =  .0.  <->  ( s
( +g  `  G ) u )  =  .0.  ) )
6967, 68imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( s ( +g  `  G ) u )  ->  (
( x  e.  T  ->  x  =  .0.  )  <->  ( ( s ( +g  `  G ) u )  e.  T  ->  (
s ( +g  `  G
) u )  =  .0.  ) ) )
7066, 69syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  S  /\  u  e.  U ) )  -> 
( x  =  ( s ( +g  `  G
) u )  -> 
( x  e.  T  ->  x  =  .0.  )
) )
7170rexlimdvva 2829 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  S  E. u  e.  U  x  =  ( s ( +g  `  G
) u )  -> 
( x  e.  T  ->  x  =  .0.  )
) )
726, 71sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  U )  ->  ( x  e.  T  ->  x  =  .0.  )
) )
7372com23 74 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  T  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  U )  ->  x  =  .0.  )
) )
7473imp3a 421 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  T  /\  x  e.  ( S  .(+)  U ) )  ->  x  =  .0.  ) )
75 elin 3522 . . . 4  |-  ( x  e.  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) )  <->  ( x  e.  T  /\  x  e.  ( S  .(+)  U ) ) )
76 elsn 3821 . . . 4  |-  ( x  e.  {  .0.  }  <->  x  =  .0.  )
7774, 75, 763imtr4g 262 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( T  i^i  ( S 
.(+)  U ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) )
7877ssrdv 3346 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) ) 
C_  {  .0.  } )
7916subg0cl 14944 . . . . 5  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  T )
8034, 79syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  T )
814lsmub1 15282 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  S  C_  ( S  .(+)  U ) )
821, 2, 81syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  ( S  .(+) 
U ) )
8316subg0cl 14944 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )
841, 83syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  S )
8582, 84sseldd 3341 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( S 
.(+)  U ) )
86 elin 3522 . . . 4  |-  (  .0. 
e.  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) )  <->  (  .0.  e.  T  /\  .0.  e.  ( S  .(+)  U )
) )
8780, 85, 86sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) ) )
8887snssd 3935 . 2  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) ) )
8978, 88eqssd 3357 1  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  ( S  .(+)  U ) )  =  {  .0.  }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698    i^i cin 3311    C_ wss 3312   {csn 3806   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677   inv gcminusg 14678  SubGrpcsubg 14930   LSSumclsm 15260
This theorem is referenced by:  lsmdisj3  15307  lsmdisj2r  15309  lsmdisj2a  15311  dprd2da  15592
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-subg 14933  df-lsm 15262
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