MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmdisj3r Unicode version

Theorem lsmdisj3r 15044
Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
lsmcntz.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmcntz.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmcntz.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmdisj.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
lsmdisjr.i  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( T  .(+)  U ) )  =  {  .0.  }
)
lsmdisj2r.i  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
lsmdisj3r.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
lsmdisj3r.s  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
Assertion
Ref Expression
lsmdisj3r  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U )  =  {  .0.  }
)

Proof of Theorem lsmdisj3r
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.p . 2  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
2 lsmcntz.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
3 lsmcntz.u . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
4 lsmcntz.t . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
5 lsmdisj.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
6 lsmdisj3r.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
7 lsmdisj3r.z . . . . . 6  |-  Z  =  (Cntz `  G )
81, 7lsmcom2 15015 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( U 
.(+)  T ) )
94, 3, 6, 8syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( U  .(+)  T ) )
109ineq2d 3404 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( T  .(+)  U ) )  =  ( S  i^i  ( U  .(+)  T ) ) )
11 lsmdisjr.i . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( T  .(+)  U ) )  =  {  .0.  }
)
1210, 11eqtr3d 2350 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( U  .(+)  T ) )  =  {  .0.  }
)
13 incom 3395 . . 3  |-  ( U  i^i  T )  =  ( T  i^i  U
)
14 lsmdisj2r.i . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
1513, 14syl5eq 2360 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
161, 2, 3, 4, 5, 12, 15lsmdisj2r 15043 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U )  =  {  .0.  }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1633    e. wcel 1701    i^i cin 3185    C_ wss 3186   {csn 3674   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   0gc0g 13449  SubGrpcsubg 14664  Cntzccntz 14840   LSSumclsm 14994
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-subg 14667  df-cntz 14842  df-oppg 14868  df-lsm 14996
  Copyright terms: Public domain W3C validator