MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmdisj3r Structured version   Unicode version

Theorem lsmdisj3r 15349
Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
lsmcntz.s  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmcntz.t  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmcntz.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
lsmdisj.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
lsmdisjr.i  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( T  .(+)  U ) )  =  {  .0.  }
)
lsmdisj2r.i  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
lsmdisj3r.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
lsmdisj3r.s  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
Assertion
Ref Expression
lsmdisj3r  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U )  =  {  .0.  }
)

Proof of Theorem lsmdisj3r
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.p . 2  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
2 lsmcntz.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
3 lsmcntz.u . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
4 lsmcntz.t . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
5 lsmdisj.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
6 lsmdisj3r.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
7 lsmdisj3r.z . . . . . 6  |-  Z  =  (Cntz `  G )
81, 7lsmcom2 15320 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( U 
.(+)  T ) )
94, 3, 6, 8syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U )  =  ( U  .(+)  T ) )
109ineq2d 3528 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( T  .(+)  U ) )  =  ( S  i^i  ( U  .(+)  T ) ) )
11 lsmdisjr.i . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( T  .(+)  U ) )  =  {  .0.  }
)
1210, 11eqtr3d 2476 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( U  .(+)  T ) )  =  {  .0.  }
)
13 incom 3519 . . 3  |-  ( U  i^i  T )  =  ( T  i^i  U
)
14 lsmdisj2r.i . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  i^i  U
)  =  {  .0.  } )
1513, 14syl5eq 2486 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  T
)  =  {  .0.  } )
161, 2, 3, 4, 5, 12, 15lsmdisj2r 15348 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U )  =  {  .0.  }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727    i^i cin 3305    C_ wss 3306   {csn 3838   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   0gc0g 13754  SubGrpcsubg 14969  Cntzccntz 15145   LSSumclsm 15299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6508  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-subg 14972  df-cntz 15147  df-oppg 15173  df-lsm 15301
  Copyright terms: Public domain W3C validator