Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmelval2 Unicode version

Theorem lsmelval2 16084
 Description: Subspace sum membership in terms of a sum of 1-dim subspaces (atoms), which can be useful for treating subspaces as projective lattice elements. (Contributed by NM, 9-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmelval2.v
lsmelval2.s
lsmelval2.p
lsmelval2.n
lsmelval2.w
lsmelval2.t
lsmelval2.u
Assertion
Ref Expression
lsmelval2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem lsmelval2
StepHypRef Expression
1 lsmelval2.w . . . . . 6
2 lsmelval2.t . . . . . 6
3 lsmelval2.s . . . . . . 7
43lsssubg 15960 . . . . . 6 SubGrp
51, 2, 4syl2anc 643 . . . . 5 SubGrp
6 lsmelval2.u . . . . . 6
73lsssubg 15960 . . . . . 6 SubGrp
81, 6, 7syl2anc 643 . . . . 5 SubGrp
9 eqid 2387 . . . . . 6
10 lsmelval2.p . . . . . 6
119, 10lsmelval 15210 . . . . 5 SubGrp SubGrp
125, 8, 11syl2anc 643 . . . 4
131adantr 452 . . . . . . . . . . 11
142adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
15 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13
16 lsmelval2.v . . . . . . . . . . . . . 14
1716, 3lssel 15941 . . . . . . . . . . . . 13
1814, 15, 17syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
19 lsmelval2.n . . . . . . . . . . . . 13
2016, 3, 19lspsncl 15980 . . . . . . . . . . . 12
2113, 18, 20syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
223lsssubg 15960 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
2313, 21, 22syl2anc 643 . . . . . . . . . 10 SubGrp
246adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
25 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13
2616, 3lssel 15941 . . . . . . . . . . . . 13
2724, 25, 26syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
2816, 3, 19lspsncl 15980 . . . . . . . . . . . 12
2913, 27, 28syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
303lsssubg 15960 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
3113, 29, 30syl2anc 643 . . . . . . . . . 10 SubGrp
3216, 19lspsnid 15996 . . . . . . . . . . 11
3313, 18, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
3416, 19lspsnid 15996 . . . . . . . . . . 11
3513, 27, 34syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
369, 10lsmelvali 15211 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
3723, 31, 33, 35, 36syl22anc 1185 . . . . . . . . 9
38 eleq1a 2456 . . . . . . . . 9
3937, 38syl 16 . . . . . . . 8
403, 10lsmcl 16082 . . . . . . . . . 10
4113, 21, 29, 40syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
4216, 3, 19, 13, 41lspsnel6 15997 . . . . . . . 8
4339, 42sylibd 206 . . . . . . 7
4443anassrs 630 . . . . . 6
4544reximdva 2761 . . . . 5
4645reximdva 2761 . . . 4
4712, 46sylbid 207 . . 3
485adantr 452 . . . . . . . 8 SubGrp
493, 19, 13, 14, 15lspsnel5a 15999 . . . . . . . 8
5010lsmless1 15220 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp
5148, 31, 49, 50syl3anc 1184 . . . . . . 7
528adantr 452 . . . . . . . 8 SubGrp
533, 19, 13, 24, 25lspsnel5a 15999 . . . . . . . 8
5410lsmless2 15221 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp
5548, 52, 53, 54syl3anc 1184 . . . . . . 7
5651, 55sstrd 3301 . . . . . 6
5756sseld 3290 . . . . 5
5842, 57sylbird 227 . . . 4
5958rexlimdvva 2780 . . 3
6047, 59impbid 184 . 2
61 r19.42v 2805 . . . 4
6261rexbii 2674 . . 3
63 r19.42v 2805 . . 3
6462, 63bitri 241 . 2
6560, 64syl6bb 253 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1717  wrex 2650   wss 3263  csn 3757  cfv 5394  (class class class)co 6020  cbs 13396   cplusg 13456  SubGrpcsubg 14865  clsm 15195  clmod 15877  clss 15935  clspn 15974 This theorem is referenced by:  dihjat1lem  31543 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-subg 14868  df-cntz 15043  df-lsm 15197  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-lsp 15975
 Copyright terms: Public domain W3C validator