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Theorem lsmelval2 16149
Description: Subspace sum membership in terms of a sum of 1-dim subspaces (atoms), which can be useful for treating subspaces as projective lattice elements. (Contributed by NM, 9-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmelval2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsmelval2.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsmelval2.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmelval2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsmelval2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsmelval2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lsmelval2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
Assertion
Ref Expression
lsmelval2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  <->  ( X  e.  V  /\  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, z,  .(+)    y, T, z    y, U, z    y, V, z   
y, W, z    y, X, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    S( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem lsmelval2
StepHypRef Expression
1 lsmelval2.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lsmelval2.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
3 lsmelval2.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
43lsssubg 16025 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S )  ->  T  e.  (SubGrp `  W )
)
51, 2, 4syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  W ) )
6 lsmelval2.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
73lsssubg 16025 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)
81, 6, 7syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
9 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
10 lsmelval2.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
119, 10lsmelval 15275 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y
( +g  `  W ) z ) ) )
125, 8, 11syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y ( +g  `  W ) z ) ) )
131adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  ->  W  e.  LMod )
142adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  ->  T  e.  S )
15 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
y  e.  T )
16 lsmelval2.v . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  =  ( Base `  W
)
1716, 3lssel 16006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  S  /\  y  e.  T )  ->  y  e.  V )
1814, 15, 17syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
y  e.  V )
19 lsmelval2.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  ( LSpan `  W )
2016, 3, 19lspsncl 16045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  V )  ->  ( N `  { y } )  e.  S
)
2113, 18, 20syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
y } )  e.  S )
223lsssubg 16025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { y } )  e.  S
)  ->  ( N `  { y } )  e.  (SubGrp `  W
) )
2313, 21, 22syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
y } )  e.  (SubGrp `  W )
)
246adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  ->  U  e.  S )
25 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
z  e.  U )
2616, 3lssel 16006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  S  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  V )
2724, 25, 26syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
z  e.  V )
2816, 3, 19lspsncl 16045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  z  e.  V )  ->  ( N `  { z } )  e.  S
)
2913, 27, 28syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
z } )  e.  S )
303lsssubg 16025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { z } )  e.  S
)  ->  ( N `  { z } )  e.  (SubGrp `  W
) )
3113, 29, 30syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
z } )  e.  (SubGrp `  W )
)
3216, 19lspsnid 16061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  V )  ->  y  e.  ( N `  {
y } ) )
3313, 18, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
y  e.  ( N `
 { y } ) )
3416, 19lspsnid 16061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  z  e.  V )  ->  z  e.  ( N `  {
z } ) )
3513, 27, 34syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
z  e.  ( N `
 { z } ) )
369, 10lsmelvali 15276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N `  { y } )  e.  (SubGrp `  W
)  /\  ( N `  { z } )  e.  (SubGrp `  W
) )  /\  (
y  e.  ( N `
 { y } )  /\  z  e.  ( N `  {
z } ) ) )  ->  ( y
( +g  `  W ) z )  e.  ( ( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )
3723, 31, 33, 35, 36syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( ( N `
 { y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )
38 eleq1a 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y ( +g  `  W
) z )  e.  ( ( N `  { y } ) 
.(+)  ( N `  { z } ) )  ->  ( X  =  ( y ( +g  `  W ) z )  ->  X  e.  ( ( N `  { y } ) 
.(+)  ( N `  { z } ) ) ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( X  =  ( y ( +g  `  W
) z )  ->  X  e.  ( ( N `  { y } )  .(+)  ( N `
 { z } ) ) ) )
403, 10lsmcl 16147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { y } )  e.  S  /\  ( N `  {
z } )  e.  S )  ->  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) )  e.  S )
4113, 21, 29, 40syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( ( N `  { y } ) 
.(+)  ( N `  { z } ) )  e.  S )
4216, 3, 19, 13, 41lspsnel6 16062 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( X  e.  ( ( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) )  <->  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
4339, 42sylibd 206 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( X  =  ( y ( +g  `  W
) z )  -> 
( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
4443anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  T )  /\  z  e.  U )  ->  ( X  =  ( y
( +g  `  W ) z )  ->  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
4544reximdva 2810 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  T )  ->  ( E. z  e.  U  X  =  ( y
( +g  `  W ) z )  ->  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
4645reximdva 2810 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y ( +g  `  W
) z )  ->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
4712, 46sylbid 207 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  ->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
485adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  W
) )
493, 19, 13, 14, 15lspsnel5a 16064 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
y } )  C_  T )
5010lsmless1 15285 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { z } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { y } )  C_  T
)  ->  ( ( N `  { y } )  .(+)  ( N `
 { z } ) )  C_  ( T  .(+)  ( N `  { z } ) ) )
5148, 31, 49, 50syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( ( N `  { y } ) 
.(+)  ( N `  { z } ) )  C_  ( T  .(+) 
( N `  {
z } ) ) )
528adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  W
) )
533, 19, 13, 24, 25lspsnel5a 16064 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
z } )  C_  U )
5410lsmless2 15286 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  {
z } )  C_  U )  ->  ( T  .(+)  ( N `  { z } ) )  C_  ( T  .(+) 
U ) )
5548, 52, 53, 54syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( T  .(+)  ( N `
 { z } ) )  C_  ( T  .(+)  U ) )
5651, 55sstrd 3350 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( ( N `  { y } ) 
.(+)  ( N `  { z } ) )  C_  ( T  .(+) 
U ) )
5756sseld 3339 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( X  e.  ( ( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) )  ->  X  e.  ( T  .(+) 
U ) ) )
5842, 57sylbird 227 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( ( X  e.  V  /\  ( N `
 { X }
)  C_  ( ( N `  { y } )  .(+)  ( N `
 { z } ) ) )  ->  X  e.  ( T  .(+) 
U ) ) )
5958rexlimdvva 2829 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `
 { X }
)  C_  ( ( N `  { y } )  .(+)  ( N `
 { z } ) ) )  ->  X  e.  ( T  .(+) 
U ) ) )
6047, 59impbid 184 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
61 r19.42v 2854 . . . 4  |-  ( E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )  <-> 
( X  e.  V  /\  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) )
6261rexbii 2722 . . 3  |-  ( E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )  <->  E. y  e.  T  ( X  e.  V  /\  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) )
63 r19.42v 2854 . . 3  |-  ( E. y  e.  T  ( X  e.  V  /\  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )  <-> 
( X  e.  V  /\  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) )
6462, 63bitri 241 . 2  |-  ( E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )  <-> 
( X  e.  V  /\  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) )
6560, 64syl6bb 253 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  <->  ( X  e.  V  /\  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698    C_ wss 3312   {csn 3806   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521  SubGrpcsubg 14930   LSSumclsm 15260   LModclmod 15942   LSubSpclss 16000   LSpanclspn 16039
This theorem is referenced by:  dihjat1lem  32163
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-lsm 15262  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040
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