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Theorem lsmelval2 15854
Description: Subspace sum membership in terms of a sum of 1-dim subspaces (atoms), which can be useful for treating subspaces as projective lattice elements. (Contributed by NM, 9-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmelval2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsmelval2.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsmelval2.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmelval2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsmelval2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsmelval2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lsmelval2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
Assertion
Ref Expression
lsmelval2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  <->  ( X  e.  V  /\  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, z,  .(+)    y, T, z    y, U, z    y, V, z   
y, W, z    y, X, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    S( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem lsmelval2
StepHypRef Expression
1 lsmelval2.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lsmelval2.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
3 lsmelval2.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
43lsssubg 15730 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  S )  ->  T  e.  (SubGrp `  W )
)
51, 2, 4syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  W ) )
6 lsmelval2.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
73lsssubg 15730 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)
81, 6, 7syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
9 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
10 lsmelval2.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
119, 10lsmelval 14976 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y
( +g  `  W ) z ) ) )
125, 8, 11syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y ( +g  `  W ) z ) ) )
131adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  ->  W  e.  LMod )
142adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  ->  T  e.  S )
15 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
y  e.  T )
16 lsmelval2.v . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  =  ( Base `  W
)
1716, 3lssel 15711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  S  /\  y  e.  T )  ->  y  e.  V )
1814, 15, 17syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
y  e.  V )
19 lsmelval2.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  ( LSpan `  W )
2016, 3, 19lspsncl 15750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  V )  ->  ( N `  { y } )  e.  S
)
2113, 18, 20syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
y } )  e.  S )
223lsssubg 15730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { y } )  e.  S
)  ->  ( N `  { y } )  e.  (SubGrp `  W
) )
2313, 21, 22syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
y } )  e.  (SubGrp `  W )
)
246adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  ->  U  e.  S )
25 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
z  e.  U )
2616, 3lssel 15711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  S  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  V )
2724, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
z  e.  V )
2816, 3, 19lspsncl 15750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  z  e.  V )  ->  ( N `  { z } )  e.  S
)
2913, 27, 28syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
z } )  e.  S )
303lsssubg 15730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { z } )  e.  S
)  ->  ( N `  { z } )  e.  (SubGrp `  W
) )
3113, 29, 30syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
z } )  e.  (SubGrp `  W )
)
3216, 19lspsnid 15766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  V )  ->  y  e.  ( N `  {
y } ) )
3313, 18, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
y  e.  ( N `
 { y } ) )
3416, 19lspsnid 15766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  z  e.  V )  ->  z  e.  ( N `  {
z } ) )
3513, 27, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
z  e.  ( N `
 { z } ) )
369, 10lsmelvali 14977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N `  { y } )  e.  (SubGrp `  W
)  /\  ( N `  { z } )  e.  (SubGrp `  W
) )  /\  (
y  e.  ( N `
 { y } )  /\  z  e.  ( N `  {
z } ) ) )  ->  ( y
( +g  `  W ) z )  e.  ( ( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )
3723, 31, 33, 35, 36syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( y ( +g  `  W ) z )  e.  ( ( N `
 { y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )
38 eleq1a 2365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y ( +g  `  W
) z )  e.  ( ( N `  { y } ) 
.(+)  ( N `  { z } ) )  ->  ( X  =  ( y ( +g  `  W ) z )  ->  X  e.  ( ( N `  { y } ) 
.(+)  ( N `  { z } ) ) ) )
3937, 38syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( X  =  ( y ( +g  `  W
) z )  ->  X  e.  ( ( N `  { y } )  .(+)  ( N `
 { z } ) ) ) )
403, 10lsmcl 15852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { y } )  e.  S  /\  ( N `  {
z } )  e.  S )  ->  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) )  e.  S )
4113, 21, 29, 40syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( ( N `  { y } ) 
.(+)  ( N `  { z } ) )  e.  S )
4216, 3, 19, 13, 41lspsnel6 15767 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( X  e.  ( ( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) )  <->  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
4339, 42sylibd 205 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( X  =  ( y ( +g  `  W
) z )  -> 
( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
4443anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  T )  /\  z  e.  U )  ->  ( X  =  ( y
( +g  `  W ) z )  ->  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
4544reximdva 2668 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  T )  ->  ( E. z  e.  U  X  =  ( y
( +g  `  W ) z )  ->  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
4645reximdva 2668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y ( +g  `  W
) z )  ->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
4712, 46sylbid 206 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  ->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
485adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  W
) )
493, 19, 13, 14, 15lspsnel5a 15769 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
y } )  C_  T )
5010lsmless1 14986 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { z } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { y } )  C_  T
)  ->  ( ( N `  { y } )  .(+)  ( N `
 { z } ) )  C_  ( T  .(+)  ( N `  { z } ) ) )
5148, 31, 49, 50syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( ( N `  { y } ) 
.(+)  ( N `  { z } ) )  C_  ( T  .(+) 
( N `  {
z } ) ) )
528adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  W
) )
533, 19, 13, 24, 25lspsnel5a 15769 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( N `  {
z } )  C_  U )
5410lsmless2 14987 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  {
z } )  C_  U )  ->  ( T  .(+)  ( N `  { z } ) )  C_  ( T  .(+) 
U ) )
5548, 52, 53, 54syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( T  .(+)  ( N `
 { z } ) )  C_  ( T  .(+)  U ) )
5651, 55sstrd 3202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( ( N `  { y } ) 
.(+)  ( N `  { z } ) )  C_  ( T  .(+) 
U ) )
5756sseld 3192 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( X  e.  ( ( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) )  ->  X  e.  ( T  .(+) 
U ) ) )
5842, 57sylbird 226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  U ) )  -> 
( ( X  e.  V  /\  ( N `
 { X }
)  C_  ( ( N `  { y } )  .(+)  ( N `
 { z } ) ) )  ->  X  e.  ( T  .(+) 
U ) ) )
5958rexlimdvva 2687 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `
 { X }
)  C_  ( ( N `  { y } )  .(+)  ( N `
 { z } ) ) )  ->  X  e.  ( T  .(+) 
U ) ) )
6047, 59impbid 183 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
61 r19.42v 2707 . . . 4  |-  ( E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )  <-> 
( X  e.  V  /\  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) )
6261rexbii 2581 . . 3  |-  ( E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )  <->  E. y  e.  T  ( X  e.  V  /\  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) )
63 r19.42v 2707 . . 3  |-  ( E. y  e.  T  ( X  e.  V  /\  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )  <-> 
( X  e.  V  /\  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) )
6462, 63bitri 240 . 2  |-  ( E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( X  e.  V  /\  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) )  <-> 
( X  e.  V  /\  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) )
6560, 64syl6bb 252 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( T  .(+)  U )  <->  ( X  e.  V  /\  E. y  e.  T  E. z  e.  U  ( N `  { X } )  C_  (
( N `  {
y } )  .(+)  ( N `  { z } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557    C_ wss 3165   {csn 3653   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224  SubGrpcsubg 14631   LSSumclsm 14961   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   LSpanclspn 15744
This theorem is referenced by:  dihjat1lem  32240
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745
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