Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmelvalm Structured version   Unicode version

Theorem lsmelvalm 15285
 Description: Subgroup sum membership analog of lsmelval 15283 using vector subtraction. TODO: any way to shorten proof? (Contributed by NM, 16-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmelvalm.m
lsmelvalm.p
lsmelvalm.t SubGrp
lsmelvalm.u SubGrp
Assertion
Ref Expression
lsmelvalm
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem lsmelvalm
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmelvalm.t . . 3 SubGrp
2 lsmelvalm.u . . 3 SubGrp
3 eqid 2436 . . . 4
4 lsmelvalm.p . . . 4
53, 4lsmelval 15283 . . 3 SubGrp SubGrp
61, 2, 5syl2anc 643 . 2
72adantr 452 . . . . . . . 8 SubGrp
8 eqid 2436 . . . . . . . . 9
98subginvcl 14953 . . . . . . . 8 SubGrp
107, 9sylan 458 . . . . . . 7
11 eqid 2436 . . . . . . . . 9
12 lsmelvalm.m . . . . . . . . 9
13 subgrcl 14949 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
141, 13syl 16 . . . . . . . . . 10
1514ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
1611subgss 14945 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
171, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11
1817sselda 3348 . . . . . . . . . 10
1918adantr 452 . . . . . . . . 9
2011subgss 14945 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
217, 20syl 16 . . . . . . . . . 10
2221sselda 3348 . . . . . . . . 9
2311, 3, 12, 8, 15, 19, 22grpsubinv 14864 . . . . . . . 8
2423eqcomd 2441 . . . . . . 7
25 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
2625eqeq2d 2447 . . . . . . . 8
2726rspcev 3052 . . . . . . 7
2810, 24, 27syl2anc 643 . . . . . 6
29 eqeq1 2442 . . . . . . 7
3029rexbidv 2726 . . . . . 6
3128, 30syl5ibrcom 214 . . . . 5
3231rexlimdva 2830 . . . 4
338subginvcl 14953 . . . . . . . 8 SubGrp
347, 33sylan 458 . . . . . . 7
3518adantr 452 . . . . . . . 8
3621sselda 3348 . . . . . . . 8
3711, 3, 8, 12grpsubval 14848 . . . . . . . 8
3835, 36, 37syl2anc 643 . . . . . . 7
39 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
4039eqeq2d 2447 . . . . . . . 8
4140rspcev 3052 . . . . . . 7
4234, 38, 41syl2anc 643 . . . . . 6
43 eqeq1 2442 . . . . . . 7
4443rexbidv 2726 . . . . . 6
4542, 44syl5ibrcom 214 . . . . 5
4645rexlimdva 2830 . . . 4
4732, 46impbid 184 . . 3
4847rexbidva 2722 . 2
496, 48bitrd 245 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2706   wss 3320  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529  cgrp 14685  cminusg 14686  csg 14688  SubGrpcsubg 14938  clsm 15268 This theorem is referenced by:  lsmelvalmi  15286  pgpfac1lem2  15633  pgpfac1lem3  15635  pgpfac1lem4  15636  mapdpglem3  32473 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-lsm 15270
 Copyright terms: Public domain W3C validator