MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmelvalx Unicode version

Theorem lsmelvalx 15202
Description: Subspace sum membership (for a group or vector space). Extended domain version of lsmelval 15211. (Contributed by NM, 28-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmfval.v  |-  B  =  ( Base `  G
)
lsmfval.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
lsmfval.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmelvalx  |-  ( ( G  e.  V  /\  T  C_  B  /\  U  C_  B )  ->  ( X  e.  ( T  .(+) 
U )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y  .+  z
) ) )
Distinct variable groups:    y, z,  .+    y, B, z    y, T, z    y, X, z   
y, G, z    y, U, z
Allowed substitution hints:    .(+) ( y, z)    V( y, z)

Proof of Theorem lsmelvalx
StepHypRef Expression
1 lsmfval.v . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 lsmfval.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 lsmfval.s . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
41, 2, 3lsmvalx 15201 . . 3  |-  ( ( G  e.  V  /\  T  C_  B  /\  U  C_  B )  ->  ( T  .(+)  U )  =  ran  ( y  e.  T ,  z  e.  U  |->  ( y  .+  z ) ) )
54eleq2d 2455 . 2  |-  ( ( G  e.  V  /\  T  C_  B  /\  U  C_  B )  ->  ( X  e.  ( T  .(+) 
U )  <->  X  e.  ran  ( y  e.  T ,  z  e.  U  |->  ( y  .+  z
) ) ) )
6 eqid 2388 . . 3  |-  ( y  e.  T ,  z  e.  U  |->  ( y 
.+  z ) )  =  ( y  e.  T ,  z  e.  U  |->  ( y  .+  z ) )
7 ovex 6046 . . 3  |-  ( y 
.+  z )  e. 
_V
86, 7elrnmpt2 6123 . 2  |-  ( X  e.  ran  ( y  e.  T ,  z  e.  U  |->  ( y 
.+  z ) )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y  .+  z ) )
95, 8syl6bb 253 1  |-  ( ( G  e.  V  /\  T  C_  B  /\  U  C_  B )  ->  ( X  e.  ( T  .(+) 
U )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y  .+  z
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2651    C_ wss 3264   ran crn 4820   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    e. cmpt2 6023   Basecbs 13397   +g cplusg 13457   LSSumclsm 15196
This theorem is referenced by:  lsmelvalix  15203  lsmless1x  15206  lsmless2x  15207  lsmelval  15211  lsmsubm  15215  lsmass  15230  lsmcomx  15399  lsmcss  16843
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-lsm 15198
  Copyright terms: Public domain W3C validator