MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmelvalx Structured version   Unicode version

Theorem lsmelvalx 15264
Description: Subspace sum membership (for a group or vector space). Extended domain version of lsmelval 15273. (Contributed by NM, 28-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmfval.v  |-  B  =  ( Base `  G
)
lsmfval.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
lsmfval.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmelvalx  |-  ( ( G  e.  V  /\  T  C_  B  /\  U  C_  B )  ->  ( X  e.  ( T  .(+) 
U )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y  .+  z
) ) )
Distinct variable groups:    y, z,  .+    y, B, z    y, T, z    y, X, z   
y, G, z    y, U, z
Allowed substitution hints:    .(+) ( y, z)    V( y, z)

Proof of Theorem lsmelvalx
StepHypRef Expression
1 lsmfval.v . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 lsmfval.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 lsmfval.s . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
41, 2, 3lsmvalx 15263 . . 3  |-  ( ( G  e.  V  /\  T  C_  B  /\  U  C_  B )  ->  ( T  .(+)  U )  =  ran  ( y  e.  T ,  z  e.  U  |->  ( y  .+  z ) ) )
54eleq2d 2502 . 2  |-  ( ( G  e.  V  /\  T  C_  B  /\  U  C_  B )  ->  ( X  e.  ( T  .(+) 
U )  <->  X  e.  ran  ( y  e.  T ,  z  e.  U  |->  ( y  .+  z
) ) ) )
6 eqid 2435 . . 3  |-  ( y  e.  T ,  z  e.  U  |->  ( y 
.+  z ) )  =  ( y  e.  T ,  z  e.  U  |->  ( y  .+  z ) )
7 ovex 6098 . . 3  |-  ( y 
.+  z )  e. 
_V
86, 7elrnmpt2 6175 . 2  |-  ( X  e.  ran  ( y  e.  T ,  z  e.  U  |->  ( y 
.+  z ) )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y  .+  z ) )
95, 8syl6bb 253 1  |-  ( ( G  e.  V  /\  T  C_  B  /\  U  C_  B )  ->  ( X  e.  ( T  .(+) 
U )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y  .+  z
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698    C_ wss 3312   ran crn 4871   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   Basecbs 13459   +g cplusg 13519   LSSumclsm 15258
This theorem is referenced by:  lsmelvalix  15265  lsmless1x  15268  lsmless2x  15269  lsmelval  15273  lsmsubm  15277  lsmass  15292  lsmcomx  15461  lsmcss  16909
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-lsm 15260
  Copyright terms: Public domain W3C validator