MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmelvalx Unicode version

Theorem lsmelvalx 14951
Description: Subspace sum membership (for a group or vector space). Extended domain version of lsmelval 14960. (Contributed by NM, 28-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmfval.v  |-  B  =  ( Base `  G
)
lsmfval.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
lsmfval.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmelvalx  |-  ( ( G  e.  V  /\  T  C_  B  /\  U  C_  B )  ->  ( X  e.  ( T  .(+) 
U )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y  .+  z
) ) )
Distinct variable groups:    y, z,  .+    y, B, z    y, T, z    y, X, z   
y, G, z    y, U, z
Allowed substitution hints:    .(+) ( y, z)    V( y, z)

Proof of Theorem lsmelvalx
StepHypRef Expression
1 lsmfval.v . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 lsmfval.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 lsmfval.s . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
41, 2, 3lsmvalx 14950 . . 3  |-  ( ( G  e.  V  /\  T  C_  B  /\  U  C_  B )  ->  ( T  .(+)  U )  =  ran  ( y  e.  T ,  z  e.  U  |->  ( y  .+  z ) ) )
54eleq2d 2350 . 2  |-  ( ( G  e.  V  /\  T  C_  B  /\  U  C_  B )  ->  ( X  e.  ( T  .(+) 
U )  <->  X  e.  ran  ( y  e.  T ,  z  e.  U  |->  ( y  .+  z
) ) ) )
6 eqid 2283 . . 3  |-  ( y  e.  T ,  z  e.  U  |->  ( y 
.+  z ) )  =  ( y  e.  T ,  z  e.  U  |->  ( y  .+  z ) )
7 ovex 5883 . . 3  |-  ( y 
.+  z )  e. 
_V
86, 7elrnmpt2 5957 . 2  |-  ( X  e.  ran  ( y  e.  T ,  z  e.  U  |->  ( y 
.+  z ) )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y  .+  z ) )
95, 8syl6bb 252 1  |-  ( ( G  e.  V  /\  T  C_  B  /\  U  C_  B )  ->  ( X  e.  ( T  .(+) 
U )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  U  X  =  ( y  .+  z
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    C_ wss 3152   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   LSSumclsm 14945
This theorem is referenced by:  lsmelvalix  14952  lsmless1x  14955  lsmless2x  14956  lsmelval  14960  lsmsubm  14964  lsmass  14979  lsmcomx  15148  lsmcss  16592
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-lsm 14947
  Copyright terms: Public domain W3C validator