Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmfval Structured version   Unicode version

Theorem lsmfval 15274
 Description: The subgroup sum function (for a group or vector space). (Contributed by NM, 28-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmfval.v
lsmfval.a
lsmfval.s
Assertion
Ref Expression
lsmfval
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)

Proof of Theorem lsmfval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmfval.s . 2
2 elex 2966 . . 3
3 fveq2 5730 . . . . . . 7
4 lsmfval.v . . . . . . 7
53, 4syl6eqr 2488 . . . . . 6
65pweqd 3806 . . . . 5
7 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10
8 lsmfval.a . . . . . . . . . 10
97, 8syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9
109oveqd 6100 . . . . . . . 8
11103ad2ant1 979 . . . . . . 7
1211mpt2eq3dva 6140 . . . . . 6
1312rneqd 5099 . . . . 5
146, 6, 13mpt2eq123dv 6138 . . . 4
15 df-lsm 15272 . . . 4
16 fvex 5744 . . . . . . 7
174, 16eqeltri 2508 . . . . . 6
1817pwex 4384 . . . . 5
1918, 18mpt2ex 6427 . . . 4
2014, 15, 19fvmpt 5808 . . 3
212, 20syl 16 . 2
221, 21syl5eq 2482 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958  cpw 3801   crn 4881  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  cbs 13471   cplusg 13531  clsm 15270 This theorem is referenced by:  lsmvalx  15275  oppglsm  15278  lsmpropd  15311 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-lsm 15272
 Copyright terms: Public domain W3C validator