Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmhash Unicode version

Theorem lsmhash 15030
 Description: The order of the direct product of groups. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmhash.p
lsmhash.o
lsmhash.z Cntz
lsmhash.t SubGrp
lsmhash.u SubGrp
lsmhash.i
lsmhash.s
lsmhash.1
lsmhash.2
Assertion
Ref Expression
lsmhash

Proof of Theorem lsmhash
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 5899 . . . . 5
21a1i 10 . . . 4
3 lsmhash.t . . . . 5 SubGrp
4 lsmhash.u . . . . 5 SubGrp
5 xpexg 4816 . . . . 5 SubGrp SubGrp
63, 4, 5syl2anc 642 . . . 4
7 eqid 2296 . . . . . . . 8
8 lsmhash.p . . . . . . . 8
9 lsmhash.o . . . . . . . 8
10 lsmhash.z . . . . . . . 8 Cntz
11 lsmhash.i . . . . . . . 8
12 lsmhash.s . . . . . . . 8
13 eqid 2296 . . . . . . . 8
147, 8, 9, 10, 3, 4, 11, 12, 13pj1f 15022 . . . . . . 7
15 ffvelrn 5679 . . . . . . 7
1614, 15sylan 457 . . . . . 6
177, 8, 9, 10, 3, 4, 11, 12, 13pj2f 15023 . . . . . . 7
18 ffvelrn 5679 . . . . . . 7
1917, 18sylan 457 . . . . . 6
20 opelxpi 4737 . . . . . 6
2116, 19, 20syl2anc 642 . . . . 5
2221ex 423 . . . 4
233, 4jca 518 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
24 xp1st 6165 . . . . . . 7
25 xp2nd 6166 . . . . . . 7
2624, 25jca 518 . . . . . 6
277, 8lsmelvali 14977 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
2823, 26, 27syl2an 463 . . . . 5
2928ex 423 . . . 4
303adantr 451 . . . . . . . 8 SubGrp
314adantr 451 . . . . . . . 8 SubGrp
3211adantr 451 . . . . . . . 8
3312adantr 451 . . . . . . . 8
34 simprl 732 . . . . . . . 8
3524ad2antll 709 . . . . . . . 8
3625ad2antll 709 . . . . . . . 8
377, 8, 9, 10, 30, 31, 32, 33, 13, 34, 35, 36pj1eq 15025 . . . . . . 7
38 eqcom 2298 . . . . . . . 8
39 eqcom 2298 . . . . . . . 8
4038, 39anbi12i 678 . . . . . . 7
4137, 40syl6bb 252 . . . . . 6
42 eqop 6178 . . . . . . 7
4342ad2antll 709 . . . . . 6
4441, 43bitr4d 247 . . . . 5
4544ex 423 . . . 4
462, 6, 22, 29, 45en3d 6914 . . 3
47 hasheni 11363 . . 3
4846, 47syl 15 . 2
49 lsmhash.1 . . 3
50 lsmhash.2 . . 3
51 hashxp 11402 . . 3
5249, 50, 51syl2anc 642 . 2
5348, 52eqtrd 2328 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  cvv 2801   cin 3164   wss 3165  csn 3653  cop 3656   class class class wbr 4039   cxp 4703  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  c1st 6136  c2nd 6137   cen 6876  cfn 6879   cmul 8758  chash 11353   cplusg 13224  c0g 13416  SubGrpcsubg 14631  Cntzccntz 14807  clsm 14961  cpj1 14962 This theorem is referenced by:  ablfacrp2  15318  ablfac1eulem  15323  ablfac1eu  15324  pgpfaclem2  15333 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-lsm 14963  df-pj1 14964
 Copyright terms: Public domain W3C validator