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Theorem lsmmod 15307
 Description: The modular law holds for subgroup sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmmod.p
Assertion
Ref Expression
lsmmod SubGrp SubGrp SubGrp

Proof of Theorem lsmmod
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
2 simpl2 961 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
3 inss1 3561 . . . . 5
43a1i 11 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
5 lsmmod.p . . . . 5
65lsmless2 15294 . . . 4 SubGrp SubGrp
71, 2, 4, 6syl3anc 1184 . . 3 SubGrp SubGrp SubGrp
8 simpr 448 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
9 inss2 3562 . . . . 5
109a1i 11 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
11 subgrcl 14949 . . . . . . . 8 SubGrp
121, 11syl 16 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp SubGrp
13 eqid 2436 . . . . . . . 8
1413subgacs 14975 . . . . . . 7 SubGrp ACS
15 acsmre 13877 . . . . . . 7 SubGrp ACS SubGrp Moore
1612, 14, 153syl 19 . . . . . 6 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp Moore
17 simpl3 962 . . . . . 6 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
18 mreincl 13824 . . . . . 6 SubGrp Moore SubGrp SubGrp SubGrp
1916, 2, 17, 18syl3anc 1184 . . . . 5 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
205lsmlub 15297 . . . . 5 SubGrp SubGrp SubGrp
211, 19, 17, 20syl3anc 1184 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
228, 10, 21mpbi2and 888 . . 3 SubGrp SubGrp SubGrp
237, 22ssind 3565 . 2 SubGrp SubGrp SubGrp
24 elin 3530 . . . 4
25 eqid 2436 . . . . . . . 8
2625, 5lsmelval 15283 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
271, 2, 26syl2anc 643 . . . . . 6 SubGrp SubGrp SubGrp
281adantr 452 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
2919adantr 452 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
30 simprll 739 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp SubGrp
31 simprlr 740 . . . . . . . . . . 11 SubGrp SubGrp SubGrp
3228, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp SubGrp SubGrp
3317adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
3413subgss 14945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubGrp
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp SubGrp SubGrp
368adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubGrp SubGrp SubGrp
3736, 30sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp SubGrp SubGrp
3835, 37sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp SubGrp SubGrp
39 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
40 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4113, 25, 39, 40grplinv 14851 . . . . . . . . . . . . . . 15
4232, 38, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp SubGrp SubGrp
4342oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp SubGrp SubGrp
4440subginvcl 14953 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp
4533, 37, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp SubGrp SubGrp
4635, 45sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp SubGrp SubGrp
47 simpll2 997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
4813subgss 14945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp SubGrp SubGrp
5049, 31sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp SubGrp SubGrp
5113, 25grpass 14819 . . . . . . . . . . . . . 14
5232, 46, 38, 50, 51syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp SubGrp SubGrp
5313, 25, 39grplid 14835 . . . . . . . . . . . . . 14
5432, 50, 53syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp SubGrp SubGrp
5543, 52, 543eqtr3d 2476 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp SubGrp
56 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp SubGrp SubGrp
5725subgcl 14954 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
5833, 45, 56, 57syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp SubGrp
5955, 58eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . 11 SubGrp SubGrp SubGrp
60 elin 3530 . . . . . . . . . . 11
6131, 59, 60sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp SubGrp
6225, 5lsmelvali 15284 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
6328, 29, 30, 61, 62syl22anc 1185 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp SubGrp
6463expr 599 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp SubGrp
65 eleq1 2496 . . . . . . . . 9
66 eleq1 2496 . . . . . . . . 9
6765, 66imbi12d 312 . . . . . . . 8
6864, 67syl5ibrcom 214 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp SubGrp
6968rexlimdvva 2837 . . . . . 6 SubGrp SubGrp SubGrp
7027, 69sylbid 207 . . . . 5 SubGrp SubGrp SubGrp
7170imp3a 421 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
7224, 71syl5bi 209 . . 3 SubGrp SubGrp SubGrp
7372ssrdv 3354 . 2 SubGrp SubGrp SubGrp
7423, 73eqssd 3365 1 SubGrp SubGrp SubGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2706   cin 3319   wss 3320  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529  c0g 13723  Moorecmre 13807  ACScacs 13810  cgrp 14685  cminusg 14686  SubGrpcsubg 14938  clsm 15268 This theorem is referenced by:  lsmmod2  15308  lcvexchlem2  29833  dihmeetlem9N  32113 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-subg 14941  df-lsm 15270
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