MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmpr Structured version   Unicode version

Theorem lsmpr 16154
Description: The span of a pair of vectors equals the sum of the spans of their singletons. (Contributed by NM, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmpr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsmpr.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsmpr.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmpr.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsmpr.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lsmpr.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lsmpr  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )

Proof of Theorem lsmpr
StepHypRef Expression
1 lsmpr.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lsmpr.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
32snssd 3936 . . 3  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
4 lsmpr.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
54snssd 3936 . . 3  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  V )
6 lsmpr.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 lsmpr.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
86, 7lspun 16056 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X }  C_  V  /\  { Y }  C_  V
)  ->  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )  =  ( N `
 ( ( N `
 { X }
)  u.  ( N `
 { Y }
) ) ) )
91, 3, 5, 8syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )  =  ( N `  (
( N `  { X } )  u.  ( N `  { Y } ) ) ) )
10 df-pr 3814 . . . 4  |-  { X ,  Y }  =  ( { X }  u.  { Y } )
1110fveq2i 5724 . . 3  |-  ( N `
 { X ,  Y } )  =  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )
1211a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( N `
 ( { X }  u.  { Y } ) ) )
13 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
146, 13, 7lspsncl 16046 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
151, 2, 14syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
166, 13, 7lspsncl 16046 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
171, 4, 16syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
18 lsmpr.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
1913, 7, 18lsmsp 16151 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W )  /\  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  ->  ( ( N `
 { X }
)  .(+)  ( N `  { Y } ) )  =  ( N `  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { Y } ) ) ) )
201, 15, 17, 19syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `  { Y } ) )  =  ( N `  (
( N `  { X } )  u.  ( N `  { Y } ) ) ) )
219, 12, 203eqtr4d 2478 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3311    C_ wss 3313   {csn 3807   {cpr 3808   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   Basecbs 13462   LSSumclsm 15261   LModclmod 15943   LSubSpclss 16001   LSpanclspn 16040
This theorem is referenced by:  lsppreli  16155  lsmelpr  16156  lsppr0  16157  lspprabs  16160  lspabs2  16185  lspindpi  16197  lsmsat  29744  dvh4dimlem  32179  dvh3dim3N  32185  lclkrlem2c  32245  lcfrlem20  32298  lcfrlem23  32301  mapdindp  32407  mapdindp2  32457  mapdindp4  32459  mapdh6dN  32475  lspindp5  32506  hdmap1l6d  32550  hdmaprnlem3eN  32597
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-0g 13720  df-mnd 14683  df-submnd 14732  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-subg 14934  df-cntz 15109  df-lsm 15263  df-cmn 15407  df-abl 15408  df-mgp 15642  df-rng 15656  df-ur 15658  df-lmod 15945  df-lss 16002  df-lsp 16041
  Copyright terms: Public domain W3C validator