MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmpr Unicode version

Theorem lsmpr 16081
Description: The span of a pair of vectors equals the sum of the spans of their singletons. (Contributed by NM, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmpr.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsmpr.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsmpr.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmpr.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lsmpr.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lsmpr.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lsmpr  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )

Proof of Theorem lsmpr
StepHypRef Expression
1 lsmpr.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lsmpr.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
32snssd 3879 . . 3  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
4 lsmpr.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
54snssd 3879 . . 3  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  V )
6 lsmpr.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 lsmpr.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
86, 7lspun 15983 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { X }  C_  V  /\  { Y }  C_  V
)  ->  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )  =  ( N `
 ( ( N `
 { X }
)  u.  ( N `
 { Y }
) ) ) )
91, 3, 5, 8syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )  =  ( N `  (
( N `  { X } )  u.  ( N `  { Y } ) ) ) )
10 df-pr 3757 . . . 4  |-  { X ,  Y }  =  ( { X }  u.  { Y } )
1110fveq2i 5664 . . 3  |-  ( N `
 { X ,  Y } )  =  ( N `  ( { X }  u.  { Y } ) )
1211a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( N `
 ( { X }  u.  { Y } ) ) )
13 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
146, 13, 7lspsncl 15973 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
151, 2, 14syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
166, 13, 7lspsncl 15973 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
171, 4, 16syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
18 lsmpr.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
1913, 7, 18lsmsp 16078 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W )  /\  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  ->  ( ( N `
 { X }
)  .(+)  ( N `  { Y } ) )  =  ( N `  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { Y } ) ) ) )
201, 15, 17, 19syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `  { Y } ) )  =  ( N `  (
( N `  { X } )  u.  ( N `  { Y } ) ) ) )
219, 12, 203eqtr4d 2422 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  =  ( ( N `  { X } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    u. cun 3254    C_ wss 3256   {csn 3750   {cpr 3751   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   LSSumclsm 15188   LModclmod 15870   LSubSpclss 15928   LSpanclspn 15967
This theorem is referenced by:  lsppreli  16082  lsmelpr  16083  lsppr0  16084  lspprabs  16087  lspabs2  16112  lspindpi  16124  lsmsat  29174  dvh4dimlem  31609  dvh3dim3N  31615  lclkrlem2c  31675  lcfrlem20  31728  lcfrlem23  31731  mapdindp  31837  mapdindp2  31887  mapdindp4  31889  mapdh6dN  31905  lspindp5  31936  hdmap1l6d  31980  hdmaprnlem3eN  32027
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-0g 13647  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-subg 14861  df-cntz 15036  df-lsm 15190  df-cmn 15334  df-abl 15335  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-ur 15585  df-lmod 15872  df-lss 15929  df-lsp 15968
  Copyright terms: Public domain W3C validator