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Theorem lsmsat 29868
 Description: Convert comparison of atom with sum of subspaces to a comparison to sum with atom. (elpaddatiN 30664 analog.) TODO: any way to shorten this? (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsat.o
lsmsat.s
lsmsat.p
lsmsat.a LSAtoms
lsmsat.w
lsmsat.t
lsmsat.u
lsmsat.q
lsmsat.n
lsmsat.l
Assertion
Ref Expression
lsmsat
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem lsmsat
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmsat.q . . 3
2 lsmsat.w . . . 4
3 eqid 2438 . . . . 5
4 eqid 2438 . . . . 5
5 lsmsat.o . . . . 5
6 lsmsat.a . . . . 5 LSAtoms
73, 4, 5, 6islsat 29851 . . . 4
82, 7syl 16 . . 3
91, 8mpbid 203 . 2
10 simp3 960 . . . . . . . . 9
11 lsmsat.l . . . . . . . . . 10
12113ad2ant1 979 . . . . . . . . 9
1310, 12eqsstr3d 3385 . . . . . . . 8
14 lsmsat.s . . . . . . . . 9
1523ad2ant1 979 . . . . . . . . 9
16 lsmsat.t . . . . . . . . . . 11
17 lsmsat.u . . . . . . . . . . 11
18 lsmsat.p . . . . . . . . . . . 12
1914, 18lsmcl 16157 . . . . . . . . . . 11
202, 16, 17, 19syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10
21203ad2ant1 979 . . . . . . . . 9
22 eldifi 3471 . . . . . . . . . 10
23223ad2ant2 980 . . . . . . . . 9
243, 14, 4, 15, 21, 23lspsnel5 16073 . . . . . . . 8
2513, 24mpbird 225 . . . . . . 7
2614lsssssubg 16036 . . . . . . . . . 10 SubGrp
2715, 26syl 16 . . . . . . . . 9 SubGrp
28163ad2ant1 979 . . . . . . . . 9
2927, 28sseldd 3351 . . . . . . . 8 SubGrp
30173ad2ant1 979 . . . . . . . . 9
3127, 30sseldd 3351 . . . . . . . 8 SubGrp
32 eqid 2438 . . . . . . . . 9
3332, 18lsmelval 15285 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp
3429, 31, 33syl2anc 644 . . . . . . 7
3525, 34mpbid 203 . . . . . 6
36 lsmsat.n . . . . . . . . . . . . . . 15
375, 14lssne0 16029 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3816, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
3936, 38mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14
4039adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
41403ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . 12
4241adantr 453 . . . . . . . . . . 11
432adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
44433ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4544adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4616adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
47463ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4847adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
49 simpr2 965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
503, 14lssel 16016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5148, 49, 50syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
52 simpr3 966 . . . . . . . . . . . . . . . 16
533, 4, 5, 6lsatlspsn2 29852 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5445, 51, 52, 53syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15
5514, 4, 45, 48, 49lspsnel5a 16074 . . . . . . . . . . . . . . 15
56 simpl3 963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57 simpr1 964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5857oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5917adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
60593ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
61 simp2r 985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
623, 14lssel 16016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6360, 61, 62syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6463adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
653, 32, 5lmod0vlid 15982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6645, 64, 65syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6756, 58, 663eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6867sneqd 3829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6968fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7014, 4, 44, 60, 61lspsnel5a 16074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7170adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7269, 71eqsstrd 3384 . . . . . . . . . . . . . . . 16
733, 4lspsnsubg 16058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 SubGrp
7445, 51, 73syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubGrp
7545, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 SubGrp
7660adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7775, 76sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubGrp
7818lsmub2 15293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 SubGrp SubGrp
7974, 77, 78syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8072, 79sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . 15
81 sseq1 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
82 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8382sseq2d 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8481, 83anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8584rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . . . 15
8654, 55, 80, 85syl12anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14
87863exp2 1172 . . . . . . . . . . . . 13
8887imp 420 . . . . . . . . . . . 12
8988rexlimdv 2831 . . . . . . . . . . 11
9042, 89mpd 15 . . . . . . . . . 10
9144adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
92 simp2l 984 . . . . . . . . . . . . . 14
933, 14lssel 16016 . . . . . . . . . . . . . 14
9447, 92, 93syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13
9594adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
96 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12
973, 4, 5, 6lsatlspsn2 29852 . . . . . . . . . . . 12
9891, 95, 96, 97syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11
9914, 4, 44, 47, 92lspsnel5a 16074 . . . . . . . . . . . 12
10099adantr 453 . . . . . . . . . . 11
101 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
102101sneqd 3829 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103102fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . 15
1043, 32, 4lspvadd 16170 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10544, 94, 63, 104syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15
106103, 105eqsstrd 3384 . . . . . . . . . . . . . 14
1073, 4, 18, 44, 94, 63lsmpr 16163 . . . . . . . . . . . . . 14
108106, 107sseqtrd 3386 . . . . . . . . . . . . 13
10944, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
1103, 14, 4lspsncl 16055 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11144, 94, 110syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
112109, 111sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
113109, 60sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
11418lsmless2 15296 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp SubGrp
115112, 113, 70, 114syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13
116108, 115sstrd 3360 . . . . . . . . . . . 12
117116adantr 453 . . . . . . . . . . 11
118 sseq1 3371 . . . . . . . . . . . . 13
119 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . 14
120119sseq2d 3378 . . . . . . . . . . . . 13
121118, 120anbi12d 693 . . . . . . . . . . . 12
122121rspcev 3054 . . . . . . . . . . 11
12398, 100, 117, 122syl12anc 1183 . . . . . . . . . 10
12490, 123pm2.61dane 2684 . . . . . . . . 9
1251243exp 1153 . . . . . . . 8
126125rexlimdvv 2838 . . . . . . 7
1271263adant3 978 . . . . . 6
12835, 127mpd 15 . . . . 5
129 sseq1 3371 . . . . . . . 8
130129anbi2d 686 . . . . . . 7
131130rexbidv 2728 . . . . . 6
1321313ad2ant3 981 . . . . 5
133128, 132mpbird 225 . . . 4
1341333exp 1153 . . 3
135134rexlimdv 2831 . 2
1369, 135mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wrex 2708   cdif 3319   wss 3322  csn 3816  cpr 3817  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471   cplusg 13531  c0g 13725  SubGrpcsubg 14940  clsm 15270  clmod 15952  clss 16010  clspn 16049  LSAtomsclsa 29834 This theorem is referenced by:  dochexmidlem4  32323 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-lsm 15272  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lsatoms 29836
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