MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmssspx Structured version   Unicode version

Theorem lsmssspx 16152
Description: Subspace sum (in its extended domain) is a subset of the span of the union of its arguments. (Contributed by NM, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsp2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsmsp2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsmsp2.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmssspx.t  |-  ( ph  ->  T  C_  V )
lsmssspx.u  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
lsmssspx.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
Assertion
Ref Expression
lsmssspx  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U ) 
C_  ( N `  ( T  u.  U
) ) )

Proof of Theorem lsmssspx
StepHypRef Expression
1 lsmssspx.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lsmssspx.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  C_  V )
3 lsmsp2.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 lsmsp2.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
53, 4lspssv 16051 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V )  ->  ( N `  T )  C_  V )
61, 2, 5syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  T
)  C_  V )
7 lsmssspx.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
83, 4lspssid 16053 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V )  ->  T  C_  ( N `  T
) )
91, 2, 8syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C_  ( N `  T ) )
10 lsmsp2.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
113, 10lsmless1x 15270 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  T
)  C_  V  /\  U  C_  V )  /\  T  C_  ( N `  T ) )  -> 
( T  .(+)  U ) 
C_  ( ( N `
 T )  .(+)  U ) )
121, 6, 7, 9, 11syl31anc 1187 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U ) 
C_  ( ( N `
 T )  .(+)  U ) )
133, 4lspssv 16051 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  ( N `  U )  C_  V )
141, 7, 13syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  U
)  C_  V )
153, 4lspssid 16053 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  C_  V )  ->  U  C_  ( N `  U
) )
161, 7, 15syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  U ) )
173, 10lsmless2x 15271 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  T
)  C_  V  /\  ( N `  U ) 
C_  V )  /\  U  C_  ( N `  U ) )  -> 
( ( N `  T )  .(+)  U ) 
C_  ( ( N `
 T )  .(+)  ( N `  U ) ) )
181, 6, 14, 16, 17syl31anc 1187 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  T )  .(+)  U ) 
C_  ( ( N `
 T )  .(+)  ( N `  U ) ) )
1912, 18sstrd 3350 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U ) 
C_  ( ( N `
 T )  .(+)  ( N `  U ) ) )
203, 4, 10lsmsp2 16151 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  C_  V  /\  U  C_  V )  ->  (
( N `  T
)  .(+)  ( N `  U ) )  =  ( N `  ( T  u.  U )
) )
211, 2, 7, 20syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  T )  .(+)  ( N `
 U ) )  =  ( N `  ( T  u.  U
) ) )
2219, 21sseqtrd 3376 1  |-  ( ph  ->  ( T  .(+)  U ) 
C_  ( N `  ( T  u.  U
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3310    C_ wss 3312   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   LSSumclsm 15260   LModclmod 15942   LSpanclspn 16039
This theorem is referenced by:  djhsumss  32142
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-lsm 15262  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040
  Copyright terms: Public domain W3C validator