MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsubg Structured version   Unicode version

Theorem lsmsubg 15290
Description: The sum of two commuting subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsubg.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
lsmsubg.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmsubg  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubGrp `  G ) )

Proof of Theorem lsmsubg
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
2 subgsubm 14964 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  e.  (SubMnd `  G ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  T  e.  (SubMnd `  G ) )
4 simp2 959 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
5 subgsubm 14964 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  e.  (SubMnd `  G ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  U  e.  (SubMnd `  G ) )
7 simp3 960 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  T  C_  ( Z `  U )
)
8 lsmsubg.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
9 lsmsubg.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  G )
108, 9lsmsubm 15289 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G ) )
113, 6, 7, 10syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G ) )
12 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
1312, 8lsmelval 15285 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. a  e.  T  E. b  e.  U  x  =  ( a
( +g  `  G ) b ) ) )
14133adant3 978 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. a  e.  T  E. b  e.  U  x  =  ( a
( +g  `  G ) b ) ) )
151adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  G
) )
16 subgrcl 14951 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  G  e.  Grp )
18 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1918subgss 14947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
2015, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  T  C_  ( Base `  G
) )
21 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
a  e.  T )
2220, 21sseldd 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
a  e.  ( Base `  G ) )
234adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G
) )
2418subgss 14947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  U  C_  ( Base `  G
) )
26 simprr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
b  e.  U )
2725, 26sseldd 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
b  e.  ( Base `  G ) )
28 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
2918, 12, 28grpinvadd 14869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  ( Base `  G )  /\  b  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
a ( +g  `  G
) b ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  b )
( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  a
) ) )
3017, 22, 27, 29syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  (
a ( +g  `  G
) b ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  b )
( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  a
) ) )
317adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
3228subginvcl 14955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  a  e.  T )  ->  (
( inv g `  G ) `  a
)  e.  T )
3315, 21, 32syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  a
)  e.  T )
3431, 33sseldd 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  a
)  e.  ( Z `
 U ) )
3528subginvcl 14955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  b  e.  U )  ->  (
( inv g `  G ) `  b
)  e.  U )
3623, 26, 35syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  b
)  e.  U )
3712, 9cntzi 15130 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( inv g `  G ) `  a
)  e.  ( Z `
 U )  /\  ( ( inv g `  G ) `  b
)  e.  U )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  a )
( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  b
) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  b
) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 a ) ) )
3834, 36, 37syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  b
) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  b
) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 a ) ) )
3930, 38eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  (
a ( +g  `  G
) b ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  a )
( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  b
) ) )
4012, 8lsmelvali 15286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( inv g `  G ) `  a
)  e.  T  /\  ( ( inv g `  G ) `  b
)  e.  U ) )  ->  ( (
( inv g `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 b ) )  e.  ( T  .(+)  U ) )
4115, 23, 33, 36, 40syl22anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  b
) )  e.  ( T  .(+)  U )
)
4239, 41eqeltrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  (
a ( +g  `  G
) b ) )  e.  ( T  .(+)  U ) )
43 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  (
( inv g `  G ) `  x
)  =  ( ( inv g `  G
) `  ( a
( +g  `  G ) b ) ) )
4443eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  ( T 
.(+)  U )  <->  ( ( inv g `  G ) `
 ( a ( +g  `  G ) b ) )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
4542, 44syl5ibrcom 215 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( x  =  ( a ( +g  `  G
) b )  -> 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  ( T 
.(+)  U ) ) )
4645rexlimdvva 2839 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( E. a  e.  T  E. b  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
4714, 46sylbid 208 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  U )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
4847ralrimiv 2790 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  A. x  e.  ( T  .(+)  U )
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  ( T 
.(+)  U ) )
491, 16syl 16 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  G  e.  Grp )
5028issubg3 14962 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( T  .(+)  U )  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( ( T 
.(+)  U )  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  ( T  .(+) 
U ) ( ( inv g `  G
) `  x )  e.  ( T  .(+)  U ) ) ) )
5149, 50syl 16 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( ( T 
.(+)  U )  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( ( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  ( T  .(+)  U )
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  ( T 
.(+)  U ) ) ) )
5211, 48, 51mpbir2and 890 1  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   Grpcgrp 14687   inv gcminusg 14688  SubMndcsubmnd 14739  SubGrpcsubg 14940  Cntzccntz 15116   LSSumclsm 15270
This theorem is referenced by:  pj1ghm  15337  lsmsubg2  15476  dprd2da  15602  dmdprdsplit2lem  15605  dprdsplit  15608
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-lsm 15272
  Copyright terms: Public domain W3C validator