MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsubg Unicode version

Theorem lsmsubg 14965
Description: The sum of two commuting subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsubg.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
lsmsubg.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmsubg  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubGrp `  G ) )

Proof of Theorem lsmsubg
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
2 subgsubm 14639 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  e.  (SubMnd `  G ) )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  T  e.  (SubMnd `  G ) )
4 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
5 subgsubm 14639 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  e.  (SubMnd `  G ) )
64, 5syl 15 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  U  e.  (SubMnd `  G ) )
7 simp3 957 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  T  C_  ( Z `  U )
)
8 lsmsubg.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
9 lsmsubg.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  G )
108, 9lsmsubm 14964 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G ) )
113, 6, 7, 10syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G ) )
12 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
1312, 8lsmelval 14960 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. a  e.  T  E. b  e.  U  x  =  ( a
( +g  `  G ) b ) ) )
14133adant3 975 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. a  e.  T  E. b  e.  U  x  =  ( a
( +g  `  G ) b ) ) )
151adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  G
) )
16 subgrcl 14626 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  G  e.  Grp )
18 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1918subgss 14622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
2015, 19syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  T  C_  ( Base `  G
) )
21 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
a  e.  T )
2220, 21sseldd 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
a  e.  ( Base `  G ) )
234adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G
) )
2418subgss 14622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  U  C_  ( Base `  G
) )
26 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
b  e.  U )
2725, 26sseldd 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
b  e.  ( Base `  G ) )
28 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
2918, 12, 28grpinvadd 14544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  ( Base `  G )  /\  b  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
a ( +g  `  G
) b ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  b )
( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  a
) ) )
3017, 22, 27, 29syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  (
a ( +g  `  G
) b ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  b )
( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  a
) ) )
317adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
3228subginvcl 14630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  a  e.  T )  ->  (
( inv g `  G ) `  a
)  e.  T )
3315, 21, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  a
)  e.  T )
3431, 33sseldd 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  a
)  e.  ( Z `
 U ) )
3528subginvcl 14630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  b  e.  U )  ->  (
( inv g `  G ) `  b
)  e.  U )
3623, 26, 35syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  b
)  e.  U )
3712, 9cntzi 14805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( inv g `  G ) `  a
)  e.  ( Z `
 U )  /\  ( ( inv g `  G ) `  b
)  e.  U )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  a )
( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  b
) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  b
) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 a ) ) )
3834, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  b
) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  b
) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 a ) ) )
3930, 38eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  (
a ( +g  `  G
) b ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  a )
( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  b
) ) )
4012, 8lsmelvali 14961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( inv g `  G ) `  a
)  e.  T  /\  ( ( inv g `  G ) `  b
)  e.  U ) )  ->  ( (
( inv g `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 b ) )  e.  ( T  .(+)  U ) )
4115, 23, 33, 36, 40syl22anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  b
) )  e.  ( T  .(+)  U )
)
4239, 41eqeltrd 2357 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  (
a ( +g  `  G
) b ) )  e.  ( T  .(+)  U ) )
43 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  (
( inv g `  G ) `  x
)  =  ( ( inv g `  G
) `  ( a
( +g  `  G ) b ) ) )
4443eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  ( T 
.(+)  U )  <->  ( ( inv g `  G ) `
 ( a ( +g  `  G ) b ) )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
4542, 44syl5ibrcom 213 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( x  =  ( a ( +g  `  G
) b )  -> 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  ( T 
.(+)  U ) ) )
4645rexlimdvva 2674 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( E. a  e.  T  E. b  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
4714, 46sylbid 206 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  U )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
4847ralrimiv 2625 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  A. x  e.  ( T  .(+)  U )
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  ( T 
.(+)  U ) )
491, 16syl 15 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  G  e.  Grp )
5028issubg3 14637 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( T  .(+)  U )  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( ( T 
.(+)  U )  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  ( T  .(+) 
U ) ( ( inv g `  G
) `  x )  e.  ( T  .(+)  U ) ) ) )
5149, 50syl 15 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( ( T 
.(+)  U )  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( ( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  ( T  .(+)  U )
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  ( T 
.(+)  U ) ) ) )
5211, 48, 51mpbir2and 888 1  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363  SubMndcsubmnd 14414  SubGrpcsubg 14615  Cntzccntz 14791   LSSumclsm 14945
This theorem is referenced by:  pj1ghm  15012  lsmsubg2  15151  dprd2da  15277  dmdprdsplit2lem  15280  dprdsplit  15283
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-lsm 14947
  Copyright terms: Public domain W3C validator