Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsubg Structured version   Unicode version

Theorem lsmsubg 15290
 Description: The sum of two commuting subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsubg.p
lsmsubg.z Cntz
Assertion
Ref Expression
lsmsubg SubGrp SubGrp SubGrp

Proof of Theorem lsmsubg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
2 subgsubm 14964 . . . 4 SubGrp SubMnd
31, 2syl 16 . . 3 SubGrp SubGrp SubMnd
4 simp2 959 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp
5 subgsubm 14964 . . . 4 SubGrp SubMnd
64, 5syl 16 . . 3 SubGrp SubGrp SubMnd
7 simp3 960 . . 3 SubGrp SubGrp
8 lsmsubg.p . . . 4
9 lsmsubg.z . . . 4 Cntz
108, 9lsmsubm 15289 . . 3 SubMnd SubMnd SubMnd
113, 6, 7, 10syl3anc 1185 . 2 SubGrp SubGrp SubMnd
12 eqid 2438 . . . . . 6
1312, 8lsmelval 15285 . . . . 5 SubGrp SubGrp
14133adant3 978 . . . 4 SubGrp SubGrp
151adantr 453 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp SubGrp
16 subgrcl 14951 . . . . . . . . . 10 SubGrp
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp
18 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12
1918subgss 14947 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
2015, 19syl 16 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
21 simprl 734 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
2220, 21sseldd 3351 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp
234adantr 453 . . . . . . . . . . 11 SubGrp SubGrp SubGrp
2418subgss 14947 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
26 simprr 735 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
2725, 26sseldd 3351 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp
28 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
2918, 12, 28grpinvadd 14869 . . . . . . . . 9
3017, 22, 27, 29syl3anc 1185 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp
317adantr 453 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
3228subginvcl 14955 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
3315, 21, 32syl2anc 644 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
3431, 33sseldd 3351 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp
3528subginvcl 14955 . . . . . . . . . 10 SubGrp
3623, 26, 35syl2anc 644 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp
3712, 9cntzi 15130 . . . . . . . . 9
3834, 36, 37syl2anc 644 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp
3930, 38eqtr4d 2473 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
4012, 8lsmelvali 15286 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp
4115, 23, 33, 36, 40syl22anc 1186 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
4239, 41eqeltrd 2512 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
43 fveq2 5730 . . . . . . 7
4443eleq1d 2504 . . . . . 6
4542, 44syl5ibrcom 215 . . . . 5 SubGrp SubGrp
4645rexlimdvva 2839 . . . 4 SubGrp SubGrp
4714, 46sylbid 208 . . 3 SubGrp SubGrp
4847ralrimiv 2790 . 2 SubGrp SubGrp
491, 16syl 16 . . 3 SubGrp SubGrp
5028issubg3 14962 . . 3 SubGrp SubMnd
5149, 50syl 16 . 2 SubGrp SubGrp SubGrp SubMnd
5211, 48, 51mpbir2and 890 1 SubGrp SubGrp SubGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708   wss 3322  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471   cplusg 13531  cgrp 14687  cminusg 14688  SubMndcsubmnd 14739  SubGrpcsubg 14940  Cntzccntz 15116  clsm 15270 This theorem is referenced by:  pj1ghm  15337  lsmsubg2  15476  dprd2da  15602  dmdprdsplit2lem  15605  dprdsplit  15608 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-lsm 15272
 Copyright terms: Public domain W3C validator