MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmsubg Unicode version

Theorem lsmsubg 14981
Description: The sum of two commuting subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsubg.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
lsmsubg.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmsubg  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubGrp `  G ) )

Proof of Theorem lsmsubg
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
2 subgsubm 14655 . . . 4  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  e.  (SubMnd `  G ) )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  T  e.  (SubMnd `  G ) )
4 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
5 subgsubm 14655 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  e.  (SubMnd `  G ) )
64, 5syl 15 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  U  e.  (SubMnd `  G ) )
7 simp3 957 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  T  C_  ( Z `  U )
)
8 lsmsubg.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
9 lsmsubg.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  G )
108, 9lsmsubm 14980 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubMnd `  G )  /\  U  e.  (SubMnd `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G ) )
113, 6, 7, 10syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G ) )
12 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
1312, 8lsmelval 14976 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. a  e.  T  E. b  e.  U  x  =  ( a
( +g  `  G ) b ) ) )
14133adant3 975 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  U )  <->  E. a  e.  T  E. b  e.  U  x  =  ( a
( +g  `  G ) b ) ) )
151adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  G
) )
16 subgrcl 14642 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  G  e.  Grp )
18 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1918subgss 14638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
2015, 19syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  T  C_  ( Base `  G
) )
21 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
a  e.  T )
2220, 21sseldd 3194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
a  e.  ( Base `  G ) )
234adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G
) )
2418subgss 14638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  U  C_  ( Base `  G
) )
26 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
b  e.  U )
2725, 26sseldd 3194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
b  e.  ( Base `  G ) )
28 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
2918, 12, 28grpinvadd 14560 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  ( Base `  G )  /\  b  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  (
a ( +g  `  G
) b ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  b )
( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  a
) ) )
3017, 22, 27, 29syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  (
a ( +g  `  G
) b ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  b )
( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  a
) ) )
317adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  ->  T  C_  ( Z `  U ) )
3228subginvcl 14646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  a  e.  T )  ->  (
( inv g `  G ) `  a
)  e.  T )
3315, 21, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  a
)  e.  T )
3431, 33sseldd 3194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  a
)  e.  ( Z `
 U ) )
3528subginvcl 14646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  b  e.  U )  ->  (
( inv g `  G ) `  b
)  e.  U )
3623, 26, 35syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  b
)  e.  U )
3712, 9cntzi 14821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( inv g `  G ) `  a
)  e.  ( Z `
 U )  /\  ( ( inv g `  G ) `  b
)  e.  U )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  a )
( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  b
) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  b
) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 a ) ) )
3834, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  b
) )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  b
) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 a ) ) )
3930, 38eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  (
a ( +g  `  G
) b ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  a )
( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  b
) ) )
4012, 8lsmelvali 14977 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( inv g `  G ) `  a
)  e.  T  /\  ( ( inv g `  G ) `  b
)  e.  U ) )  ->  ( (
( inv g `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 b ) )  e.  ( T  .(+)  U ) )
4115, 23, 33, 36, 40syl22anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  b
) )  e.  ( T  .(+)  U )
)
4239, 41eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  (
a ( +g  `  G
) b ) )  e.  ( T  .(+)  U ) )
43 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  (
( inv g `  G ) `  x
)  =  ( ( inv g `  G
) `  ( a
( +g  `  G ) b ) ) )
4443eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  ( T 
.(+)  U )  <->  ( ( inv g `  G ) `
 ( a ( +g  `  G ) b ) )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
4542, 44syl5ibrcom 213 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  /\  ( a  e.  T  /\  b  e.  U ) )  -> 
( x  =  ( a ( +g  `  G
) b )  -> 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  ( T 
.(+)  U ) ) )
4645rexlimdvva 2687 . . . 4  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( E. a  e.  T  E. b  e.  U  x  =  ( a ( +g  `  G ) b )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
4714, 46sylbid 206 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  U )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  ( T  .(+)  U ) ) )
4847ralrimiv 2638 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  A. x  e.  ( T  .(+)  U )
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  ( T 
.(+)  U ) )
491, 16syl 15 . . 3  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  G  e.  Grp )
5028issubg3 14653 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( T  .(+)  U )  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( ( T 
.(+)  U )  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  ( T  .(+) 
U ) ( ( inv g `  G
) `  x )  e.  ( T  .(+)  U ) ) ) )
5149, 50syl 15 . 2  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( ( T 
.(+)  U )  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( ( T  .(+)  U )  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  ( T  .(+)  U )
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  ( T 
.(+)  U ) ) ) )
5211, 48, 51mpbir2and 888 1  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  C_  ( Z `
 U ) )  ->  ( T  .(+)  U )  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379  SubMndcsubmnd 14430  SubGrpcsubg 14631  Cntzccntz 14807   LSSumclsm 14961
This theorem is referenced by:  pj1ghm  15028  lsmsubg2  15167  dprd2da  15293  dmdprdsplit2lem  15296  dprdsplit  15299
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-lsm 14963
  Copyright terms: Public domain W3C validator